Расчет площади четырехугольника с разными сторонами: Площадь неправильного четырехугольника с заданными сторонами

Содержание

Площадь четырехугольника — формулы, примеры расчета

Четырехугольником называется фигура, состоящая из четырех вершин, три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, соединяющих их.

Существует множество четырехугольников. К ним относятся параллелограммы, квадраты, ромбы, трапеции. Найти площадь квадрата можно найти по сторонам, площадь ромба легко вычисляется по диагоналям. В произвольном четырехугольнике также можно использовать все элементы для вывода формулы площади четырехугольника. Для начала рассмотрим формулу площади четырехугольника через диагональ. Для того, чтобы ее использовать потребуются длины диагоналей и размер острого угла между ними. Зная необходимые данные можно проводить пример расчета площади четырехугольника по такой формуле:

Половина произведения диагоналей и синуса острого угла между ними является площадью четырехугольника. Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника через диагональ.

Пусть дан четырехугольник с двумя диагоналями d1=5 см;d2=4см. Острый угол между ними равен α = 30°. Формула площади четырехугольника через диагонали легко применяется для известных условий. Подставим данные:

На примере расчета площади четырехугольника через диагонали понимаем, что формула очень похожа на расчет площади параллелограмма.

Площадь четырехугольника по сторонам

Когда известны длины сторон фигуры, можно применить формулу площади четырехугольника по сторонам. Для применения этих расчетов потребуется найти полупериметр фигуры. Мы помним, что периметр – это сумма длин всех сторон. Полупериметр – это половина периметра. В нашем прямоугольнике со сторонами a, b, c, d формула полупериметра будет выглядеть так:
Зная стороны, выводим формулу. Площадь четырехугольника представляет собой корень из произведения разности полупериметра с длиной каждой стороны:

Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника через стороны. Дан произвольный четырехугольник со сторонами a = 5 см, b = 4 см, с = 3 см, d = 6 см. Для начала найдем полупериметр:

используем найденное значение для расчета площади:

Площадь четырехугольника, заданного координатами

Формула площади четырехугольника по координатам используется для расчета площади фигур, которые располагаются в системе координат. В этом случае для начала требуется расчет длин необходимых сторон. В зависимости от типа четырехугольника может меняться и сама формула. Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника, используя квадрат, который лежит в системе координат XY.

Площадь четырехугольника

Площадь произвольного четырехугольника, формулы и калькулятор для вычисления в режиме онлайн. Для вычисления площади произвольного четырехугольника применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Ниже приведены формулы и калькулятор, который поможет вычислить площадь произвольного четырехугольника или проверить уже выполненные вычисления.

В окончании статьи приведены ссылки для вычисления частных случаев четырехугольников: квадрата, трапеции, параллелограмма, прямоугольника, ромба.

Таблица с формулами площади четырехугольника (в конце страницы)

— Вычисления   (показано)
  (скрыто)

— примечания   (показано)
  (скрыто)

1

Площадь четырехугольника по диагоналям и углу между ними

… подготовка …

d1 — диагональ

d2 — диагональ

α° — угол между диагоналями


2

Площадь четырехугольника через стороны и углы между этими сторонами

При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:

… подготовка …

a — сторона

b — сторона

c — сторона

d — сторона

α° — угол между сторонами

β° — угол между сторонами


3

Площадь четырехугольника вписанного в окружность, вычисляемая по Формуле Брахмагупты

Данная формула справедлива только для четырехугольников, вокруг которых можно описать окружность.

При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:

… подготовка …

a — сторона

b — сторона

c — сторона

d — сторона


4

Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность

Данная формула справедлива только для четырехугольников, в которые можно вписать окружность. Вписанная окружность должна иметь точки соприкосновения со всеми четырьмя сторонами четырехугольника.

При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:

… подготовка …

a — сторона

b — сторона

c — сторона

d — сторона

r — радиус вписанной окружности


5

Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность, определяемая через стороны и углы между ними

Данная формула справедлива только для четырехугольников, в которые можно вписать окружность. Вписанная окружность должна иметь точки соприкосновения со всеми четырьмя сторонами четырехугольника.

… подготовка …

a — сторона

b — сторона

c — сторона

d — сторона

α° — угол между сторонами

β° — угол между сторонами


Примечание:

Если в исходных данных угол задан в радианах, то для перевода в градусы вы можете воспользоваться «Конвертером величин». Или вычислить самостоятельно по формуле: 1 рад × (180/π) ° = 57,296°


Таблица с формулами площади четырехугольника


Площадь частных случаев четырехугольников

Для вычисления частных случаев четырехугольников можно воспользоваться формулами и калькуляторами, приведенными в других статьях сайта:


Определения

Четырехугольник – это геометрическая плоская фигура, образованная четырьмя последовательно соединенными отрезками.

Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Площадь четырехугольника — это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной геометрической фигурой, образованной четырьмя последовательно соединенными отрезками.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км2, м2, см2, мм2 и т.д.

Как вычислить площадь участка с разными сторонами

Как посчитать сотки земли и измерить площадь участка? на сайте Недвио

Сотки и гектары — это общепринятые единицы площади земельных участков. Но как понять действительные размеры участка? Если это прямоугольная территория, с ровными границами — то здесь достаточно элементарных знаний математики, а если нет — здесь без сложных расчетов и калькулятора не обойтись.

В этой статье мы рассмотрим основные методики расчета площади участков и их особенности применения.

Чему равна сотка? Сколько квадратных метров в сотке?

Сотка земли — это участок площадью 100 кв. м. (сто квадратных метров).

Почему эта единица измерения получила такое название? Есть несколько версий: кто-то считает, что «сотками» стали называть участки земли из-за их площади (100 м2 — сто метров — сотка), кто-то полагает, что термин произошел, как сотая часть гектара (1 га = 10.000 кв. м / 100). Есть и второе название этой меры измерения площади участков — «ар». Но оно сегодня используется крайне редко.

Мера деления участков на сотки прижилась в большинстве стран. Сотками удобно считать площадь не только земель, но и сада, огорода, дачного участка, при определении территорий для продажи и строительства.

Интересно отметить, что далеко не все страны измеряют площадь участков в сотках. В Англии и США, например, земля измеряется в акрах и квадратных ярдах, а для обозначения расстояния вместо метров используют футы и мили.

В нашей стране, термины «сотка» и «гектар» вошли в обиход только после 1917 года. До этого использовали десятины, версты и другие величины измерения.

Сегодня, в сотках меряют обычно небольшие участки. Если идет расчет размеров участков средней площади, где стороны имеют расстояния более 100 кв. метров, обычно используют единицы в 1 га (гектар). Для того, чтобы посчитать размеры больших участков принято использовать единицы площади в 1 квадратный километр (1 кв. км). Так, территории стран, областей, крупных городов обычно рассчитывают именно в км2.

Как рассчитать сколько соток на участке?

Площадь небольшой территории (как например садового участка) вполне можно рассчитать самостоятельно. Для этого чаще всего используют следующий метод:

  1. по углам участка ставят палки-колышки;
  2. затем двумя обычными рулетками измеряют расстояние в четыре стороны;
  3. полученные данные фиксируются и записываются на бумагу.

Что делать дальше? Возьмем пример: Допустим, мы померяли рулеткой расстояние от колышка к колышку и получили 50 метров по одной стороне, и 35 м — по второй. Согласно правилам геометрии площадь прямоугольной фигуры равна произведению сумм двух смежных сторон. Очевидно, что нам нужно умножить 50 на 35, и мы получим площадь — 1750 кв. м.

После того, как мы определили площадь в квадратных метрах, нам нужно перевести эти значения в сотки. Как мы уже говорили, сотка — это 100 кв. м земли. Поэтому, чтобы узнать площадь нашего участка в сотках нужно разделить 1750 / 100. То есть наш участок имеет размер 17,5 соток.

Эти же правила справедливы и в обратную сторону. Так, к примеру, если вы видите объявление о продаже земельного участка размером в 9 соток — это значит, что его площадь равна 900 квадратных метров (9 * 100 = 900).

А вот с длиной сторон участков уже посложнее. 900 кв. м. — могут быть как форме квадрата (30 х 30 м), так могут быть и в форме прямоугольника (например, 20 х 45 м или 25 х 36 м), а могут и вовсе иметь разную длину сторон.

Формулы расчета площади участков. Примеры

Приведем для понимания несколько примеров расчетов:

  • 10 соток нужно перевести в квадратные метры. Тогда 10 * 100 = 1000 кв. м;
  • Какова площадь территории прямоугольной формы со сторонами 25 и 30 м. Считаем: 25 * 30 / 100 = 7,5 сот.;
  • Каковы размеры сторон участка в 25 соток. 25 сот. — это 2500 кв. м. Вычисляем корень квадратный из 2500, получаем 50 м;
  • Какова площадь участка со сторонами 20 и 10 м. Считаем: 20 × 10 = 200 кв. м. или 2 сотки.

Наиболее сложные случаи возникают при определении размеров земельных участков неправильной формы. Для этого нужно знать размеры каждой из сторон и лучше использовать специальный калькулятор:

Как применять эти данные?

Допустим, вы планируете построить дом площадью 100 квадратных метров на участке в 8 соток. Соответственно 100 делим на 1 и получаем, то дом займет территорию в 1 сотку. Остальные 7 соток мы можем использовать по своему усмотрению: разбить огород, построить гараж, бани, теплицы и т. д.

Вы можете нарисовать план участка на бумаге, определить, где находится дом, сколько места он занимает, а также расположение других строений и насаждений.

Измерение площади участка шагами

Если при осмотре интересующей территории, у вас нет с собой измерительных приборов, и даже рулетки, можно посчитать площадь участка «на глаз». Как вариант — способ посчитать размер участка шагами.

Общеизвестно, что размер шага обычного человека — 0,7 м. Таким образом для того чтобы рассчитать сто квадратных метров, вы делаете 12-14 шагов в одну сторону, затем под прямым углом делаете такое же количество шагов в другую сторону. Квадрат в 12-14 шагов — это и есть сотка земли.

Как измерить площадь участка палкой?

Еще один способ как можно измерить площадь — соорудить палку длиной в 1 метр (или два) и делать замеры с помощью нее.

Наиболее точной длину палки можно сделать при помощи роста тела или же какого-либо предмета, размер которого известен. Это может быть тротуарная плитка (обычно 30 см) , столбик ограждения или же можно измерить растяжкой большого и указательного пальца (приблизительно 20 см) .

Как рассчитать сотку земли при помощи палки? Очень просто. Отмерьте ей 10 раз обе стороны участка и у вас получится сто квадратных метров.

Есть и более продвинутый способ применения этого способа, когда из трех палок делается тренога или, как еще называют, «сажень». По опыту скажем, что измерять участок сажнем выходит намного быстрее.

Измерение участка рулеткой

Это самый точный и оптимальный способ. Вообще, если вы подбираете участок для покупки, возьмите за правило — всегда иметь рулетку с собой. И калькулятор.

С помощью них и вышеуказанных формул вы сможете с высокой точностью рассчитать размер практически любого участка и проверить слова продавца еще до переговоров / внесения залога.

Как рассчитать площадь участка аналитическим методом

Площадь – важнейшая характеристика участка, которая может быть необходима при различных сделках. Например, при продаже, покупке или обмене участка. Этот показатель обязательно присутствует в перечне параметров участка, зафиксированных в ЕГРН.

Виды расчета площади

Существуют следующие виды расчета площади:

Аналитический метод наиболее точен, поскольку его точность зависит только от точности полевых измерений. В двух других методах дополнительные ошибки могут появиться еще и из-за неточности планов и деформации бумаги.

В первом случае при расчете используются результаты полевых измерений координат или длин границ участка, во втором случае используются данные, полученные с плана участка, в третьем случае используется специальный прибор – планиметр.

Аналитический расчет

Наиболее полный и точный расчет можно произвести по координатам поворотных точек. Такие координаты определяются кадастровым инженером при проведении межевания участка. Вычисление таких координат производится с помощью различных методов, указанных в приказе МЭР № 518 «О требованиях в точности определения характерных точек».

Наиболее точными методами определения координат являются геодезический и спутниковый методы, для которых используются опорные межевые сети. Эти координаты можно получить в выписке из ЕГРН.

При этом площадь участка вычисляется по формуле Гаусса:

S=0,5*(x1-1+ x2y3+…+ xn-1yn+ xny1- x2y1- x3y2-…- xnyn-1- x1yn),

где xi, yi –координаты i-той опорной точки.

Для проведения такого сложного расчета надо знать координаты опорных точек земельного участка.

На практике часто требуется оценить площадь земельного участка на месте. При этом в качестве средства измерения может быть только рулетка.

В этом случае порядок расчета площади зависит от геометрической формы участка. Для простой формы участка площадь считается в соответствии с простейшими правилами геометрии.

Треугольная форма

Например, площадь участка в виде прямоугольного треугольника рассчитывается по формуле:

S=0,5*a*b,

где а и b – длина двух сторон участка.

Для треугольника, не являющимся прямоугольным, площадь равна:

S=0,5*h*b,

где b – основание фигуры, а h – его высота.

На практике не всегда удается измерить высоту треугольника, отображающего форму участка. Проще измерить длины сторон. В этом случае для расчета площади участка используется формула Герона:

где а,b и c – стороны треугольника, а p=0,5*(a+b+c) – полупериметр треугольника.

Четырехугольная форма

Для участка в виде прямоугольника площадь равна:

S=a*b,

где а и b – размеры длинной и короткой сторон прямоугольника.

Для участка в форме трапеции площадь равна:

S= (a+b)/2*h,

где а и b – длины оснований фигуры, а h – ее высота.

В общем случае площадь участка в виде четырехугольника можно определить по формуле:

S=0,5*d1*d2*sin α,

где d1и d2 – диагонали фигуры, а α – угол между ними.

В некоторых случаях площадь четырехугольного участка можно вычислить по его четырем сторонам. В частности, если четырехугольник, отображающий форму участка, может быть вписан в окружность (то есть суммы его противоположных углов равны между собой и равны 180°), то его площадь вычисляется по формуле Брахмагупты, подобной формуле Герона для треугольника:

где а,b,c и d – стороны четырехугольника, а p=0,5*(a+b+c+d) – его полупериметр.

Многоугольная форма

Для участка со сложным контуром основной прием расчета его площади состоит в разбиении сложной фигуры на простые (например, треугольники и прямоугольники). Вычисленные площади простых фигур затем суммируются.

Возможный алгоритм действий для определения площади участка, имеющего форму многоугольника, состоит в следующем:

  1. Выбрать точку внутри многоугольника и забить в нее колышек.
  2. От колышка к каждой вершине многоугольника протянуть бечевку.
  3. С помощью рулетки измерить длины каждой из сторон всех образовавшихся треугольников.
  4. По формуле Герона вычислить площади треугольников.
  5. Просуммировав площади треугольников, получить величину площади участка.

Если многоугольник не имеет внутренних углов, больших 180 градусов, центральную точку можно совместить с одной из вершин. В этом случае количество образовавшихся треугольников уменьшится на 2, что упростит задачу.

В некоторых случаях, когда участок имеет слишком сложную форму и много опорных точек, более правильным приемом является использование замеров по азимуту. При этом для каждой опорной точки по контуру границы участка определяется размер угла по азимуту и расстояние до следующей опорной точки. Измерения производятся по часовой стрелке. После окончания измерений все результаты загружаются в специальную программу, которая с большой точностью рассчитывает площадь участка.

Как рассчитать сотки земли на участке? Чему равна сотка?

Слово «сотка» широко бытует в неофициальном общении людей, особенно тех, что связаны с земельными участками. Да-да, какой же дачник-огородник не знает, сколько соток земли на его участке? Уж старое поколение точно и наизусть помнит о своих трех или шести сотках!

И хотя в в официальных земельных документах требуется отмечать площадь участков только в гектарах, тем более при купле-продаже, всё же для людей привычнее слышать и считать землю под огород именно в сотках.

Для взаимодействия с кадастровыми инстанциями приходится напрягаться и пересчитывать площадь участка именно в гектарах (га). В этом материале мы предлагаем разобраться в терминологии и единицах измерения земли, выяснить, что такое собственно «сотка» и каково её соотношение с гектаром.

Сколько квадратных метров в одной сотке?

Какие бы ни были причины уточнения площади вашего земельного участка, размеры которого вам известны в сотках, классический перевод из соток в метры будет проходить по схеме:

площадь размером в 1 «сотку» = 100 квадратным метрам (1 сотка = 100 м2).

Как замерить площадь участка земли простой формы?

Измерение правильно начинать с замера сторон участка. Забив по углам участка колышки, при помощи рулетки, делаете точные их замеры в длину и ширину. Если участок правильной геометрической формы, то понадобятся только две его стороны — длина и ширина. Результаты измерений лучше записать в блокнот или занести в компьютер.

Но если ваш участок оказался асимметричным — нужно в таком случае замеры всех четырех его сторон и углов в градусах, либо длины диагоналей — тоже под запись.

Если ваш огород неправильной формы (НЕ квадратный или НЕ прямоугольный участок), то методика измерения земельного участка немного сложнее, чем умножение длины и ширины, но вполне под силу обычному человеку без специального образования.

Как определить размер участка в квадратных метрах

Чтобы расчет оказался как можно более точным, понадобятся рулетка, несколько колышков и блокнот для записи результатов измерения. Весь ход требуемого расчета идет по законам курса школьной геометрии, который гласит, что для точного определения площади прямоугольной фигуры следует умножить его ширину на длину, например:

Например, если длина вашего участка земли 70 метров, а ширина 40 метров, то площадь можно рассчитать как S = 70м * 40м = 2800 м2, то есть в данном случае площадь вашей земли 2 800 квадратных метров.

Как перевести метры в сотки

Учитывая, что 1 сотка равна 100 м2, идем обратным путем для перевода данных из метров в сотки. Это позволит получить корректные результаты замера площади данной земельной делянки. При расчете количества квадратных метров в сотке нужно получившийся результат разделить на 100, например:

  • площадь участка — 1000 м2;
  • 1000 м2 разделить на 100;
  • количество соток — 10

Если ваш участок неправильной геометрической формы, но вами правильно посчитана его площадь в квадратных метрах, методика вычисления размера в сотках остается прежней. Участки с большой площадью обычно измеряются гектарами, каждый из которых состоит из 10 000 квадратных метров или 100 соток.

Расчет площади земельного участка онлайн калькулятором

На сегодня в сети довольно много сервисов и онлайн-калькуляторов, позволяющих рассчитать площадь земельного участка, достаточно воспользоваться одной из поисковых систем, например Яндекс.

Имейте в виду, что онлайн калькулятору расчета площади участка земли понадобится точные размеры всех сторон участка в метрах, чтобы его алгоритм справился с точным расчетом площади вашего участка земли.

Как рассчитать площадь участка сложной формы?

Сложнее поддается расчету участок неправильной формы и только лишь размеров сторон будет недостаточно для вычисления площади участка сложной формы. Здесь вам потребуется знать размеры и всех сторон огорода, и размер диагоналей Чуть проще, если один из углов участка составляет 90 градусов.

Вот пример расчета соток земли дачного участка сложной формы:

Размеры сторон земельного участка, в метрах

  • Сторона A-B = 69 метров,
  • Сторона B-C = 46 метров,
  • Сторона C-D = 87 метров,
  • Сторона D-A = 35 метров,
  • Левый нижний угол прямой (90 градусов)

По этим данным можно определить длины диагоналей B-D и A-C, и рассчитать площадь участка = 3035 квадратных метров (или 30,35 соток).

5 КОММЕНТАРИИ

Вот это информация, достойная доверия и уважения, которая многим поможет выполнить правильный замер площади своего земельного участка или проверить результаты такого замера, чтобы в них не сомневаться.

У меня участок ровно прямоугольный, поэтому брал веревку, замерял стороны веревкой, потом небольшой рулеткой уже мерял длину веревки и умножал длину на ширину, как в школе на уроках геометрии.

Знаете ли вы, что измерить сотку шагами довольно легко, зная размер вашего шага в сантиметрах (метрах). Так, например, в среднем, обычный шаг взрослого человека равен 60 сантиметрам (0,6м), таким образом вы можете высчитать количество шагов, необходимых чтобы пройти вдоль ширины и длины участка земли, затем умножить на длину вашего шага (полезно её измерить заранее и помнить/знать) на число шагов, в результате узнаете длину и ширину участка в метрах. Перемножив длину и ширину земельного участка вы определите его площадь с помощью шагов и пары математических вычислений. Например, длина вашего огорода 200 шагов, а ширина 100 шагов, зная, что шаг это 0,6 метра, легко узнать, что ширина вашего дачного участка 60 метров (100 шагов х 0,6 метра), а длина 120 метров (200 шагов х 0,6 метра), таким образом площадь вашего огорода равна 60 х 120 метров = 7 200 квадратных метров, а чтобы вычислить площадь в сотках достаточно полученный результат разделить на 100, в итоге в сотках ваш земельный участок составляет 72 сотки. И посчитали вы этот результат с помощью шагов и пары операций умножения и деления.

Добрый день, такой вопрос: огород 15*30, по расчётам 4,5 сотки, если изменю размеры к примеру 10*35 то получится 3,5 сотки, а если сделать 20*25 то 5 соток?

Да, всё верно, площадь прямоугольного участка это произведение его длины на его ширину. Таким образом если длина будет 35 метров, а ширина 10 метров, то площадь составит 350 м2, то есть три с половиной сотки.

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия

      В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

S = ab,

которая позволяет найти площадь прямоугольникапрямоугольника с основанием a и высотой b.

Формулы для площадей четырехугольников

Четырехугольник Рисунок Формула площади Обозначения
Прямоугольник S = ab

a и b – смежные стороны

Посмотреть вывод формулы

d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

S = 2R2 sin φ

Получается из верхней формулы подстановкой d=2R

R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Параллелограмм

S = a ha

Посмотреть вывод формулы

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

S = absin φ

Посмотреть вывод формулы

a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Посмотреть вывод формулы

d1, d2 – диагонали,

φ – любой из четырёх углов между ними

Квадрат S = a2

a – сторона квадрата

S = 4r2

r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

d – диагональ квадрата

S = 2R2

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

R – радиус описанной окружности

Ромб

S = a ha

Посмотреть вывод формулы

a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

S = a2 sin φ

Посмотреть вывод формулы

a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Посмотреть вывод формулы

d1, d2 – диагонали

S = 2ar

Посмотреть вывод формулы

a – сторона,
r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Трапеция

Посмотреть вывод формулы

a и b – основания,
h – высота

S = m h

m – средняя линия,
h – высота

Посмотреть вывод формулы

d1, d2 – диагонали,

φ – любой из четырёх углов между ними

Посмотреть вывод формулы

a и b – основания,
c и d  – боковые стороны

Дельтоид S = ab sin φ

a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b.

S = (a + b) r

Посмотреть вывод формулы

a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

d1, d2 – диагонали

Произвольный выпуклый четырёхугольник

Посмотреть вывод формулы

d1, d2 – диагонали,

φ – любой из четырёх углов между ними

Вписанный четырёхугольник

,

Посмотреть вывод формулы Брахмагупты

a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр,

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Прямоугольник

S = ab

где
a и b – смежные стороны

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Посмотреть вывод формулы

S = 2R2 sin φ

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Параллелограмм

S = a ha

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Посмотреть вывод формулы

S = absin φ

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Посмотреть вывод формулы

где
d1, d2 – диагонали,

φ – любой из четырёх углов между ними

Посмотреть вывод формулы

Квадрат
S = a2

где
a – сторона квадрата

S = 4r2

где
r – радиус вписанной окружности

где
d – диагональ квадрата

Посмотреть вывод формулы

S = 2R2

где
R – радиус описанной окружности

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Ромб

S = a ha

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Посмотреть вывод формулы

S = a2 sin φ

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Посмотреть вывод формулы

где
d1, d2 – диагонали

Посмотреть вывод формулы

S = 2ar

где
a – сторона,
r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Посмотреть вывод формулы

Трапеция

где
a и b – основания,
h – высота

Посмотреть вывод формулы

S = m h

где
m – средняя линия,
h – высота

где
d1, d2 – диагонали,

φ – любой из четырёх углов между ними

Посмотреть вывод формулы

где
a и b – основания,
c и d  – боковые стороны

Посмотреть вывод формулы

Дельтоид

S = ab sin φ

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b.

S = (a + b) r

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

где
d1, d2 – диагонали

Посмотреть вывод формулы

Произвольный выпуклый четырёхугольник

где
d1, d2 – диагонали,

φ – любой из четырёх углов между ними

Посмотреть вывод формулы

Вписанный четырёхугольник

,

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Посмотреть вывод формулы Брахмагупты

Прямоугольник

S = ab

где
a и b – смежные стороны

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Посмотреть вывод формулы

S = 2R2 sin φ

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Параллелограмм

S = a ha

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Посмотреть вывод формулы

S = absin φ

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

Посмотреть вывод формулы

где
d1, d2 – диагонали,

φ – любой из четырёх углов между ними

Посмотреть вывод формулы

Квадрат

S = a2

где
a – сторона квадрата

S = 4r2

где
r – радиус вписанной окружности

где
d – диагональ квадрата

Посмотреть вывод формулы

S = 2R2

где
R – радиус описанной окружности

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Ромб

S = a ha

где
a – сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Посмотреть вывод формулы

S = a2 sin φ

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

Посмотреть вывод формулы

где
d1, d2 – диагонали

Посмотреть вывод формулы

S = 2ar

где
a – сторона,
r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Посмотреть вывод формулы

Трапеция

где
a и b – основания,
h – высота

Посмотреть вывод формулы

S = m h

где
m – средняя линия,
h – высота

где
d1, d2 – диагонали,

φ – любой из четырёх углов между ними

Посмотреть вывод формулы

где
a и b – основания,
c и d  – боковые стороны,

Посмотреть вывод формулы

Дельтоид

S = ab sin φ

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
φ1 – угол между сторонами, равными a ,
φ2 – угол между сторонами, равными b.

S = (a + b) r

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

где
d1, d2 – диагонали

Посмотреть вывод формулы

Произвольный выпуклый четырёхугольник

где
d1, d2 – диагонали,

φ – любой из четырёх углов между ними

Посмотреть вывод формулы

Вписанный четырёхугольник

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Посмотреть вывод формулы Брахмагупты

Вывод формул для площадей четырехугольников

      Утверждение 1. Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

где  d1 и d2 – диагонали четырёхугольника, а φ – любой из четырёх углов между ними (рис. 1).

Рис. 1

      Доказательство. В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

что и требовалось доказать.

      Утверждение 2. Площадь параллелограммапараллелограмма можно найти по формуле

S = a ha ,

где a – сторона параллелограмма, а ha – высотавысотавысота, опущенная на эту сторону (рис. 2).

Рис. 2

      Доказательство. Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

SABCD = SAEFD = a ha ,

что и требовалось доказать.

      Утверждение 3.Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

S = ab sin φ,

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

Рис. 3

      Доказательство. Поскольку

ha = b sin φ,

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

S = a ha = ab sin φ,

что и требовалось доказать.

      Утверждение 4. Площадь ромбаромба можно найти по формуле

,

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

Рис. 4

      Доказательство. Поскольку каждая из диагоналей ромба является биссектрисой угла, а каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла, то точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от всех сторон ромба и является центром вписанной в ромб окружности. Отсюда следует, в частности, что высота ромба в 2 раза больше радиуса вписанной окружности (рис.4). Поэтому

что и требовалось доказать.

      Утверждение 5. Площадь трапеции можно найти по формуле

,

где a и b – основания трапеции, а h  – высотавысотавысота (рис.5).

Рис. 5

      Доказательство. Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD. Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF. Поэтому

что и требовалось доказать.

      Утверждение 6. Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

,

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции,

(рис.6).

Рис. 6

      Доказательство. Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

      Следовательно,

где

,

что и требовалось доказать.

      Утверждение 7. Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

S = (a + b) r,

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Рис. 7

      Доказательство. Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D, а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O, лежащей на диагонали BD. Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

      Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

что и требовалось доказать.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Площадь параллелограмма: онлайн калькулятор, формулы, примеры решений

Параллелограмм — фигура, у которой параллельные стороны и противолежащие углы попарно равны. В зависимости от соотношений углов и сторон, параллелограмм может превращаться в ромб, прямоугольник или квадрат.

Геометрия параллелограмма

Четырехугольники бывают разными, поэтому чтобы фигура носила гордое название параллелограмма, должно выполняются одно из следующих условий:

  • противолежащие стороны попарно параллельны;
  • противолежащие стороны попарно равны;
  • диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Если у такого параллелограмма равны стороны, то такая фигура — ромб, если прямые углы — прямоугольник. Если же и стороны равны, и углы прямые, то параллелограмм превращается в квадрат.

У параллелограмма, как и у любого четырехугольника, есть основание и высота. Основанием может быть любая сторона параллелограмма, а высотой — перпендикулярный основанию отрезок, опущенный из любой вершины. Таким образом, если обозначить стороны фигуры как a и b, то вы получите две высоты:

  • ha, опущенную на основание a;
  • hb, опущенную на сторону b.

Оперируя этими переменными, вы можете найти периметр и площадь параллелограмма.

Параллелограмм в реальности

Такой четырехугольник — лидер по распространенности в человеческой повседневности. Форму параллелограмма имеют грани всех объектов, которые в трехмерной реальности являются призмами. Среди них кирпич, токосъемник, головка молотка, книга или тротуарная плитка. В реальной жизни чаще всего встречается прямоугольник или квадрат, однако и косоугольные параллелограммы находят применение в производстве, металлообработке и машиностроении.

Параллелограммы с непрямыми углами широко распространены в дизайне, искусстве и архитектуре. Вы наверняка видели оригинальные окна в виде параллелограммов, картины от представителей школ кубизма и абстракционизма или строгие геометрические узоры в интерьерах, оформленных в стиле хай-тек.

Площадь параллелограмма

Площадь плоской фигуры — это числовая характеристика ее размера. Для вычисления площади четырехугольника используется следующая формула:

S = a × ha = b × hb

Если вам неизвестна высота четырехугольника, вы можете использовать еще одно выражение:

S = a × b × sin(alfa),

где alfa – угол между сторонами a и b.

Между диагоналями параллелограмма и его сторонами также существует тригонометрическая зависимость, указанная выше на иллюстрации к калькулятору. Программа позволяет вычислять площадь фигуры, зная три параметра на выбор:

  • две стороны и угол между ними;
  • две стороны и диагональ.

Вы можете воспользоваться и первой формулой, по которой вычислить площадь фигуры легко, зная только две переменные: высоту и основание. Однако алгоритм калькулятора требует ввода трех переменных, поэтому для корректной работы программы необходимо ввести не одну высоту на выбор, а обе. Так как вы вряд ли будете знать этот параметр в реальных расчетах или при решении геометрических задач, для вычислений добавьте вторую сторону по принципу, что ha = b, а hb = a. Такая подстановка сделает из параллелограмма прямоугольник, но при расчете площади фигуры через высоту и основание неважно, под каким углом пересекаются стороны четырехугольника. Рассмотрим пример.

Пример из реальной жизни

Школьная задача

Пусть в задаче по геометрии требуется отыскать площадь параллелограмма, зная, что a = 20, b = 40, а угол между сторонами составляет 30 градусов. Это простая задача, которая решается по стандартной формуле S = a × b × sin(alfa). Вам достаточно только ввести эти параметры в форму калькулятора и получить результат:

S = 400

Таким образом, площадь четырехугольника составляет 400 условных единиц.

Заключение

Параллелограмм — король четырехугольников, получивший широкое распространение в прикладных сферах и реальной жизни. Наш калькулятор пригодится как учащимся, так и представителям самых разных профессий, ведь параллелограмм и его частные случаи встречаются в жизни буквально за каждым углом.

Формулы вычисления площади произвольного четырёхугольника

В школьных математических заданиях часто требуется определить площадь четырёхугольника. Все довольно просто, если задан частный случай фигуры — квадрат, ромб, прямоугольник, трапеция, параллелограмм, ромбоид. В случае же произвольного четырёхугольника все несколько сложнее, но также вполне доступно для среднего школьника. Ниже мы изучим различные методы расчётов площади произвольных четырёхугольников, запишем формулы и рассмотрим различные вспомогательные примеры.

Определения и соглашения

В приведённой ниже таблице будут указаны определения и договорённости, которые будут использоваться в дальнейшем во время наших рассуждений.

  1. Четырёхугольник — это фигура из четырёх точек (вершин), из которых любые три не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон) последовательно их соединяющих.
  2. Диагональ — отрезок, соединяющий вершины многоугольника не лежащие на одной стороне (её обозначение – латинская буква d).
  3. Площадь фигуры — это численное значение территории, заключённой внутри многоугольника (её обозначение – латинская буква S).
  4. Синус угла — это число равное отношению противоположного катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. (её обозначение – запись sin).
  5. Косинус угла — это число равное отношению прилежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. В дальнейшем в статье для его обозначения будем использовать латинскую запись cos.
  6. Описанная окружность — это окружность, которой принадлежат все вершины многоугольника ( её радиуса обозается буквой R).
  7. Вписанная окружность — это окружность, которая касается всех сторон многоугольника. В дальнейшем в статье для обозначения её радиуса будем использовать латинскую букву r.
  8. Угол между сторонами a и b будем обозначать следующей записью (a,b).

Нахождение площади четырёхугольника различными способами и методами

Узнаем как найти площадь четырёхугольника когда даны его диагонали и образуемый при их пересечении острый угол. Тогда площадь четырёхугольника будет вычисляться по формуле: S = 1/2*d1*d2*sin(d1,d2).

Рассмотрим пример. Пусть d1 = 15 сантиметров, d2 = 12 сантиметров, и угол между ними 30 градусов. Определим S. S = 1/2*15*12*sin30 = 1/2*15*12*1/2 = 45 сантиметров квадратных.

Теперь пусть даны стороны и противолежащие углы четырёхугольника.

Пусть a, b, c, d известные стороны многоугольника; p — его полупериметр. Корень квадратный выражения условимся обозначать как rad (от латинского radical). Формула площади четырёхугольника будет находиться по формуле: S = rad(( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) ( p − d ) − a b c d ⋅ c o s^2( (a,b) + (c,d))/2), где p = 1/2*(a + b + c + d).2(0,5 + 1,5)/2 = c o s1*c o s1 = (1/2)*(1/2) = 0,9996.

Подставим полученные данные в нашу формулу, получим: S = rad((40 — 18)*(40 — 23)*(40 — 22)*(40 — 17) — 18*23*22*17*0,97) = rad(22*17*18*23 — 18*23*22*17*1/4) = rad((22*17*18*23*(1 — 0,9996)) = rad(154836*0,0004) = rad62 = 7,875 миллиметра квадратного.

Разберёмся как находить площадь с помощью вписанной и описанной окружностей. При решении задач данной темы имеет смысл сопровождать свои действия вспомогательным рисунком, хотя это требование и не является обязательным.

Если есть вписанная окружность и нужно найти площадь четырёхугольника формула имеет вид:

S = ((a + b+ c + d)/2)*r

Снова возьмём на рассмотрение пример: a = 16 метров, b = 30 метров, c = 28 метров, d = 14 метров, r = 6 метров. Подставим аши значения в формулу, получим:

S = ((16 +30 + 28 + 14)/2)*6 = 44*6 = 264 метров квадратных.

Теперь займёмся вариантом когда окружность описана вокруг четырёхугольника. Здесь мы сможем воспользоваться следующей формулой:

S = rad((p − a )*( p − b )*( p − c )*( p − d ), где p равно половине длины периметра.2( (a,b) + (c,d))/2), где p = 1/2*(a + b + c + d);

  • S = ((a + b+ c + d)/2)*r
  • S = rad((p − a )*( p − b )*( p − c )*( p − d ), где p равно половине периметра​.

    Таким образом, реально сложной является только формула номер 2, но и она вполне доступна, при условии хорошего понимания данных в статье определений и соглашений.

    Видео

    Разобраться в этой теме вам поможет видео.

    § Площадь фигур. Площадь квадрата. Площадь прямоугольника. Площадь сложной фигуры

    Две фигуры называют равными, если одну их них можно так наложить на другую,
    что эти фигуры совпадут.

    Площади равных фигур равны. Их периметры тоже равны.

    Площадь квадрата

    Запомните!

    Для вычисления площади квадрата нужно умножить его длину на саму себя.

    S = a · a

    Пример:

    SEKFM = EK · EK

    SEKFM = 3 · 3 = 9 см2

    Формулу площади квадрата, зная
    определение степени,
    можно записать следующим образом:

    S = a2

    Площадь прямоугольника

    Запомните!

    Для вычисления площади прямоугольника нужно умножить его длину на ширину.

    S = a · b

    Пример:

    SABCD = AB · BC

    SABCD = 3 · 7 = 21 см2

    Запомните!

    Нельзя вычислять периметр или площадь, если длина и ширина выражены в разных единицах длины.

    Обязательно проверяйте, чтобы и длина, и ширина были выражены в одинаковых единицах, то есть обе в см, м и т.д.

    Площадь сложных фигур

    Запомните!

    Площадь всей фигуры равна сумме площадей её частей.

    Задача: найти площадь огородного участка.

    Так как фигура на рисунке не является ни квадратом, ни прямоугольником, рассчитать её площадь можно используя
    правило выше.

    Разделим фигуру на два прямоугольника, чьи площади мы можем легко рассчитать по известной формуле.

    SABCE = AB · BC
    SEFKL = 10 · 3 = 30 м2
    SCDEF = FC · CD
    SCDEF = 7 · 5 = 35 м2

    Чтобы найти площадь всей фигуры, сложим площади найденных прямоугольников.
    S = SABCE + SEFKL
    S = 30 + 35 = 65 м2

    Ответ: S = 65 м2 — площадь огородного участка.


    Свойство ниже может вам пригодиться при решении задач на площадь.

    Запомните!

    Диагональ прямоугольника делит прямоугольник на два равных треугольника.

    Площадь любого из этих треугольников равна половине площади прямоугольника.

    Рассмотрим прямоугольник:

    АС — диагональ прямоугольника
    ABCD. Найдём площадь треугольников
    ABC и
    ACD

    Вначале найдём площадь прямоугольника по формуле.

    SABCD = AB · BC
    SABCD = 5 · 4 = 20 см2

    S
    ABC
    = SABCD : 2

    S
    ABC
    = 20 : 2 = 10 см2

    S
    ABC
    =
    S
    ACD
    = 10 см2


    неправильные четырехугольники | Площадь, определение и видео // Tutors.com

    Содержание

    Иногда жизнь проста и понятна. Квадраты привычны и удобны, регулярны и предсказуемы. С другой стороны, прямоугольники, трапеции, воздушные змеи и другие необычные четырехугольники не так просты. Для неправильных четырехугольников даже такая простая задача, как определение их площади, может стать проблемой.

    1. Четырехугольник Определение
    2. Правильный четырехугольник
    3. Неправильные четырехугольники
    4. Площадь неправильных четырехугольников
    5. Площадь очень неправильных четырехугольников

    Определение четырехугольника

    Напомним, четырехугольник (латинское: «четыре стороны» ) — это двухмерная плоская фигура, которая использует четыре отрезка линии, чтобы ограничить пространство.Поскольку определение очень широкое, многие общие формы представляют собой четырехугольники:

    1. Квадраты
    2. Прямоугольники
    3. Трапеции
    4. Параллелограммы
    5. Воздушных змеев
    6. Ромбы

    Правильный четырехугольник

    Из длинного списка только квадрат представляет собой правильный четырехугольник . У правильных многоугольников совпадающие стороны и углы. Вы можете легко увидеть, что прямоугольник может иметь четыре внутренних угла 90 °, но у него не обязательно должны быть четыре стороны равной длины.

    Неправильные четырехугольники

    Что такое неправильный четырехугольник ? Неправильные четырехугольники: прямоугольник, трапеция, параллелограмм, воздушный змей и ромб. Они симметричны, но не обязательно должны иметь совпадающие стороны или углы. Однако не отчаивайтесь, потому что некоторые из них поддаются формулам площади, как и квадрат.

    В дополнение к симметричным неправильным четырехугольникам могут существовать другие неправильные четырехугольники без симметрии, только с четырьмя неравными сторонами:

    [вставить рисунок неправильного четырехугольника MATH с обозначенными сторонами MA = 7 см, AT = 3 см, TH = 12 см, HM = 14 см]

    Площадь неправильных четырехугольников

    Вычислить площадь (в квадратных единицах) для квадрата и прямоугольника очень просто:

    • A = Ширина x Длина (Ш x Д), что для квадрата означает то же, что и W ^ 2.

    Если у вас квадрат со сторонами 17 см, его площадь будет 289 см2. Если у вас есть прямоугольник с двумя сторонами 17 см и двумя сторонами 34 см, площадь будет 17 x 34 = 578 квадратных см.

    Вычислить площадь для большинства других неправильных четырехугольников может быть непросто. Площадь параллелограмма или ромба, например, равна его высоте (или высоте), а не длине его короткой стороны, умноженной на его основание. В случае трапеции вы должны найти среднее значение двух оснований и умножить это значение на высоту трапеции.

    Воздушный змей , который имеет две смежные короткие стороны и две смежные длинные стороны, имеет формулу площади, основанную на его диагоналях, d1 и d2:

    Площадь очень

    Неровные Четырехугольники

    Наш предыдущий пример неправильного четырехугольника, MATH, показывает, что четыре стороны не гарантируют симметричную форму. Чтобы найти площадь таких неправильных четырехугольников, следуйте трехэтапной стратегии:

    1. Разделите четырехугольник на два треугольника, построив диагональ, не нарушающую известный внутренний угол
    2. Вычислите площадь каждого треугольника по формуле
    3. .

    4. Складываем площади двух треугольников

    Для нашего четырехугольника MATH соединение вершины A с вершиной H разбивает фигуру на △ MAH и △ ATH.Вы не знаете высоты h ни одного из треугольников, поэтому вы не можете рассчитать площадь, используя 1 / 2bh.

    Вместо этого проявите немного творчества (математика полна творчества), основывая один факт на другом. В нашем четырехугольнике MATH, если мы знаем один угол, мы можем использовать эти четыре шага, чтобы найти общую площадь:

    1. Зная, что включенный угол T составляет 120 °, вы можете использовать Side-Angle-Side, чтобы найти площадь △ ATH
    2. Зная площадь △ ATH, вы можете использовать закон косинусов для вычисления неизвестной длины диагонали AH
    3. Зная длину диагонали AH, вы можете использовать формулу Герона для вычисления площади △ MAH
    4. Зная площади двух треугольников, сложите их, чтобы получить площадь неправильного четырехугольника

    Обратите внимание, что вы должны работать последовательно, и для начала у вас должны быть некоторые основные факты.2 = 189

  • т ≈ 13,747 см
  • Теперь у нас есть приблизительная длина стороны AH, равная 13,747 см, поэтому мы можем использовать формулу Герона , чтобы вычислить площадь другой части нашего четырехугольника.

    Используйте формулу Герона

    Формула Герона зависит от знания полупериметра или половины периметра треугольника. Для нашего △ MAH размер с трех сторон:

    1. MA = 7 см
    2. AH = 13,747 см
    3. HM = 14 см

    Полупериметр s , это половина суммы сторон:

    • s = ½ (7 см + 13.2

    С точностью до тысячных квадратного сантиметра мы имеем площадь четырехугольника МАТЕМАТИКА!

    Краткое содержание урока

    Теперь, когда вы полностью изучили урок, вы можете определять четырехугольники, различать правильные и неправильные четырехугольники, а также вспоминать и объяснять отличительные свойства правильных и неправильных четырехугольников. Теперь вы также можете применить формулу длина-ширина в качестве формулы для вычисления площади правильных и некоторых неправильных четырехугольников, и, когда формула длины-ширины не может применяться, найти площадь неправильных четырехугольников, используя другие стратегии, в том числе с помощью закона косинусов и формулы Герона.

    Следующий урок:

    Что такое четырехугольник?

    Площадь четырехугольника — определение, формула и примеры

    Площадь четырехугольника — это площадь внутри него. Напомним, что такое четырехугольник. Четырехугольник — это замкнутая форма, ограниченная четырьмя отрезками прямых. Четырехугольник может быть правильным или неправильным. Правильный четырехугольник — это четырехугольник, у которого все стороны равны. Неправильный четырехугольник называется неправильным четырехугольником.Четырехугольники бывают 6 видов.

    • квадрат
    • прямоугольник
    • параллелограмм
    • трапеция
    • ромб
    • воздушный змей

    На этой странице мы увидим, как найти площадь четырехугольника, разделив его на два треугольника, и как найти площадь четырехугольника, используя его 4 стороны. Кроме того, мы изучим формулы для определения площади каждого из этих четырехугольников разных типов.

    Что такое площадь четырехугольника?

    Площадь четырехугольника — это не что иное, как область, ограниченная сторонами четырехугольника. Она измеряется в квадратных единицах, таких как м 2 , в 2 , см 2 и т. Д. Процесс определения площади четырехугольника зависит от его типа и имеющейся информации о четырехугольнике. Если четырехугольник не принадлежит ни к одному из упомянутых выше типов, то мы можем найти его площадь, либо разделив его на два треугольника, либо используя формулу (которая называется формулой Бретшнайдера) нахождения площади четырехугольника используя четыре стороны.Здесь вы можете увидеть формулы для определения площади четырехугольника, не принадлежащего ни к одному из стандартных типов.

    Давайте узнаем больше об этих формулах в следующих разделах.

    Площадь четырехугольника, полученная при делении на два треугольника

    Рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором длина диагонали BD, как известно, равна «d». ABCD можно разделить на два треугольника диагональю BD. Чтобы найти его площадь, мы должны знать высоту треугольников ABD и BCD.Предположим, что высоты треугольников BCD и ABD равны \ (h_1 \) и \ (h_2 \) соответственно. Мы найдем площадь четырехугольника ABCD, сложив площади треугольников BCD и ABD.

    Здесь площадь треугольника BCD = (1/2) × d × \ (h_1 \).

    Площадь треугольника ABD = (1/2) × d × \ (h_2 \).

    Из приведенного выше рисунка площадь четырехугольника ABCD = площадь ΔBCD + площадь ΔABD.

    Таким образом, площадь четырехугольника ABCD = (1/2) × d × \ (h_1 \) + (1/2) × d × \ (h_2 \) = (1/2) × d × (\ (h_1 + h_2 \)).

    Таким образом, формула, используемая для определения площади четырехугольника, когда заданы одна из его диагоналей и высота треугольников (образованных данной диагональю), равна,

    Площадь = (1/2) × Диагональ × (Сумма высот)

    Площадь четырехугольной формулы со сторонами

    Когда указаны стороны четырехугольника и два его противоположных угла, мы можем найти его площадь, используя формулу Бретшнейдера. Рассмотрим четырехугольник со сторонами a, b, c и d, а два его противоположных угла — θ \ (_ 1 \) и θ \ (_ 2 \).{2} \ frac {\ theta} {2}} \), где

    • s = полупериметр четырехугольника = (a + b + c + d) / 2
    • θ = θ \ (_ 1 \) + θ \ (_ 2 \)

    Площадь четырехугольника по формуле Герона

    По формуле Герона, площадь треугольника с 3 сторонами a, b и c равна \ (\ sqrt {s (sa) (sb) (sc)} \), где ‘s’ — это полупериметр треугольник, т. е. s = (a + b + c) / 2. Чтобы найти площадь четырехугольника по формуле Герона,

    • Разделите его на два треугольника по диагонали (используйте диагональ, длина которой известна).
    • Примените формулу Герона для каждого треугольника, чтобы найти его площадь.
    • Складываем площади двух треугольников, что дает площадь четырехугольника.

    Формулы площади четырехугольников различных типов

    Мы уже узнали, что существует 6 типов четырехугольников: квадрат, прямоугольник, параллелограмм, трапеция, ромб и воздушный змей. У нас есть специальная формула для определения площади каждого из этих четырехугольников.Посмотрим на них.

    Площадь четырехугольника в координатах

    Площадь четырехугольника можно вычислить, если известны координаты его вершин. Рассмотрим четырехугольник в координатной плоскости, как показано ниже,

    В приведенном выше четырехугольнике A (x \ (_ 1 \), y \ (_ 1 \)), B (x \ (_ 2 \), y \ (_ 2 \)), C (x \ (_ 3 \), y \ (_ 3 \)) и D (x \ (_ 4 \), y \ (_ 4 \)) — вершины.

    Чтобы найти площадь четырехугольника ABCD, возьмем вершины A (x \ (_ 1 \), y \ (_ 1 \)), B (x \ (_ 2 \), y \ (_ 2 \)), C (x \ (_ 3 \), y \ (_ 3 \)) и D (x \ (_ 4 \), y \ (_ 4 \)) четырехугольника ABCD и напишите их, как показано ниже,

    Складываем произведения по диагонали x \ (_ 1 \) y \ (_ 2 \), x \ (_ 2 \) y \ (_ 3 \), x \ (_ 3 \) y \ (_ 4 \) и x \ (_ 4 \). y \ (_ 1 \) , которые показаны синими стрелками на изображении выше.

    (x \ (_ 1 \) y \ (_ 2 \) + x \ (_ 2 \) y \ (_ 3 \) + x \ (_ 3 \) y \ (_ 4 \) + x \ (_ 4 \) y \ (_1 \)) → (1)

    Складываем произведения по диагонали x \ (_ 2 \) y \ (_ 1 \), x \ (_ 3 \) y \ (_ 2 \), x \ (_ 4 \) y \ (_ 3 \) и x \ (_ 1 \). y \ (_ 4 \), которые показаны оранжевыми стрелками.

    (x \ (_ 2 \) y \ (_ 1 \) + x \ (_ 3 \) y \ (_ 2 \) + x \ (_ 4 \) y \ (_ 3 \) + x \ (_ 1 \) y \ (_ 4 \)) → (2)

    Вычтите (2) из ​​(1) и умножьте разницу на 1/2, чтобы получить площадь четырехугольника ABCD.

    Итак, площадь четырехугольника ABCD задается как,

    .

    A = (1/2) ⋅ {(x \ (_ 1 \) y \ (_ 2 \) + x \ (_ 2 \) y \ (_ 3 \) + x \ (_ 3 \) y \ (_ 4 \) + x \ (_ 4 \) y \ (_ 1 \)) — (x \ (_ 2 \) y \ (_ 1 \) + x \ (_ 3 \) y \ (_ 2 \) + x \ (_ 4 \) у \ (_ 3 \) + х \ (_ 1 \) у \ (_ 4 \))}

    Примечание: Мы также можем вычислить площадь четырехугольника, используя координаты вершин, разделив его на два треугольника и сложив их соответствующие площади.Давайте разберемся с этой техникой на примере, приведенном ниже,

    Пример: Рассмотрим следующие четыре точки: A (−3, 1), B (−1, 4), C (3, 2), D (1, −2). Эти четыре точки являются вершинами четырехугольника:

    Здесь мы разделим четырехугольник на два треугольника (используя любую из диагоналей), вычислим (положительное значение) площади каждого треугольника и сложим эти значения, чтобы получить общую площадь. На следующем рисунке четырехугольник ABCD разделен на ΔABD и ΔADC.

    Теперь мы отдельно вычисляем площади двух треугольников.

    Площадь треугольника ABC:

    = (1/2) | −3 × (4–2) + (−1) × (2–1) + 3 × (1–4) | = (1/2) | −6 −1 −9 | = (1/2) × 16 = 8кв.

    Площадь треугольника ACD:

    = (1/2) | −3 × (−2 — 2) + 1 × (2 — 1) + 3 × (1 — (- 2)) |

    = (1/2) | 12 + 1 + 9 | = (1/2) × 22 = 11кв.

    Площадь четырехугольника ABCD:

    Площадь (ABCD) = Площадь (ΔABC) + Площадь (ΔADC) = 8 + 11 = 19 кв.ед.

    Часто задаваемые вопросы о четырехугольнике

    Что такое площадь четырехугольника в математике?

    Площадь четырехугольника — это область, которая им окружена. Он измеряется в квадратных единицах, например: 2 , см 2 , м 2 и т. Д.

    Что такое площадь четырехугольной формулы?

    Площадь четырехугольника можно найти, разделив его на два треугольника по диагонали. Когда длина диагонали и высота двух треугольников известны, площадь (A) четырехугольника равна A = (1/2) × диагональ × (сумма высот).{2} \ frac {\ theta} {2}} \), где s — полупериметр четырехугольника. т.е. s = (a + b + c + d) / 2.

    Как найти площадь четырехугольника по формуле Герона?

    Мы знаем, что площадь четырехугольника можно найти, разделив его на два треугольника по диагонали. Кроме того, мы знаем, что площадь треугольника с 3 сторонами можно найти по формуле Герона. Используя формулу Герона, площадь треугольника со сторонами a, b и c определяется как \ (\ sqrt {s (sa) (sb) (sc)} \), где ‘s’ — это полупериметр треугольник.т.е. s = (a + b + c) / 2. Используя эту формулу, мы можем найти площади двух треугольников (которые образованы четырехугольником) и сложить их, чтобы получить площадь четырехугольника.

    Какие формулы для нахождения площадей различных типов четырехугольников?

    Существуют разные формулы для определения площадей четырехугольников разных типов. Их:

    • Площадь квадрата со стороной x равна x 2 .
    • Площадь прямоугольника размеров l и b равна l × b.
    • Площадь параллелограмма с основанием «b» и высотой «h» равна b × h.
    • Площадь трапеции, параллельные стороны которой равны ‘a’ и ‘b’, а высота (перпендикулярное расстояние между ‘a’ и ‘b’) ‘h’ равно (1/2) (a + b) h.
    • Площадь ромба диагоналей d \ (_ 1 \) и d \ (_ 2 \) равна (1/2) × d \ (_ 1 \) × d \ (_ 2 \).
    • Площадь воздушного змея с диагональю d \ (_ 1 \) и d \ (_ 2 \) равна (1/2) × d \ (_ 1 \) × d \ (_ 2 \).

    Как найти площадь четырехугольника с координатами?

    Когда вершинам четырехугольника заданы координаты, сначала найдите 4 длины сторон и длину диагонали, используя формулу расстояния.Затем разделите четырехугольник на две части, используя найденную диагональ, найдите площадь каждого треугольника, используя формулу Герона, а затем сложите площади двух треугольников, что даст площадь четырехугольника.

    Что такое площадь четырехугольника?

    Что такое площадь четырехугольника?

    Четырехугольник — это многоугольник, который получается соединением четырех вершин, у него четыре стороны и четыре угла. Есть два типа четырехугольников — правильные и неправильные четырехугольники.Некоторые примеры четырехугольников: квадрат, прямоугольник, ромб, трапеция и параллелограмм.

    Площадь многоугольника — это пространство, занимаемое плоской формой. Это сумма площадей правильных и неправильных треугольников внутри.

    Измерение площади четырехугольника

    Чтобы оценить площадь четырехугольника, мы разделим его на две основные геометрические фигуры, например, треугольники. Затем мы находим площадь двух отдельных треугольников, используя формулу, и складываем эти площади, чтобы найти площадь четырехугольника.

    Расчет площади четырехугольника

    (B и D) по диагонали переменного тока.

    Площадь четырехугольника ABCD = Площадь ABC + Площадь △ ADC

    Итак, площадь четырехугольника ABCD = (½ × AC × BE) + (½ × AC × DF)

    Мы можем вычислить площади четырехугольников различных типов по данной формуле. Для четырехугольника ABCD, если мы используем сантиметр в качестве единицы измерения, единицей измерения площади будет см 2 .

    Площадь параллелограмма

    Чтобы оценить площадь параллелограмма, нарисуйте перпендикуляр от одной из вершин к основанию. Этот перпендикуляр и есть высота. Таким образом, площадь будет произведением базы и высоты.

    Площадь параллелограмма = основание x высота

    Площадь = 12 × 6 = 72 см

    Площадь ромба

    Чтобы найти площадь ромба, разделим четырехугольник на два равнобедренных треугольника, используя две диагонали.В данном ромбе ABCD точка пересечения этих диагоналей равна E. Таким образом, площадь ромба равна:

    Площадь ромба ABCD = Площадь ABC + Площадь △ ADC

    ⟹ Площадь ромба ABCD = (½ x AC x BE) + (½ x AC x ED)

    ⟹ Площадь ромба ABCD = ½ x AC (BE + ED)

    ⟹ Площадь ромба ABCD = ½ x AC x BD

    Площадь квадрата

    Используя это соотношение, мы также можем найти площадь квадрата ABCD

    Площадь квадрата ABCD = Площадь ABC + Площадь △ BCD

    ⟹ Площадь △ ABC = ½ * AC * AB

    ⟹ Площадь △ ABC = ½ * AC * AC (как AC = AB)

    ⟹ Площадь △ ABC = ½ * AC2

    Аналогично, площадь △ BCD = ½ * CD2

    Так как AC = CD, площадь △ BCD будет ½ * AC2

    Таким образом, площадь квадрата ABCD = 2 * (½ * AC2) = AC2

    Следовательно, площадь квадрата ABCD — это квадрат стороны.

    Площадь прямоугольника

    Площадь прямоугольника по приведенной выше формуле будет равна произведению двух его смежных сторон, основания и высоты. Мы представляем это как:

    Заявка

    Реальное применение четырехугольника и его площади очень полезно в области дизайна, сельского хозяйства и архитектуры. Эта концепция очень полезна при расширенном проектировании навигационных карт, масштабируемых с точностью до фактических расстояний и площадей.

    Площадь, покрытая четырехугольником, образованным соединением четырех разных мест на карте

    Интересные факты

    • Термин четырехугольник — это комбинация слов Quadri + Lateral, что означает «четыре стороны».

    • За исключением квадрата, все четырехугольники неправильные. Они также известны как «Четырехугольник» и «Тетрагон» (четыре и многоугольник).

    • Сумма всех углов внутри четырехугольника всегда равна 360 °.

    Сопутствующий математический словарь

    Площадь вписанного четырехугольника

    Площадь вписанного четырехугольника — Math Open Reference

    Формула для вычисления площади вписанного или вписанного четырехугольника

    , если вам известны длины (a, b, c, d) сторон.

    Попробуйте это Перетащите любую оранжевую точку. Обратите внимание на изменение формулы для расчета площади.

    Напомним, что
    вписанный (или «циклический») четырехугольник — это тот, в котором четыре
    все вершины лежат на окружности.
    Используя формулу ниже, вы можете рассчитать площадь четырехугольника.

    где a, b, c, d — длины сторон, а p — половина периметра:

    На рисунке выше перетащите любую вершину по кругу. Обратите внимание, как рассчитываются полупериметр (p) и площадь.

    ‘Скрещенные’ полигоны

    На рисунке выше, если вы перетащите точку мимо ее соседа, четырехугольник станет «пересеченным» там, где одна сторона пересекается с другой.В таких «скрещенных» четырехугольниках формула площади больше не выполняется.
    (Большинство свойств многоугольников недействительны при пересечении многоугольника).

    Сходство с формулой Герона

    Напомним, что
    Формула Герона для площади треугольника:

    где p — половина периметра, как здесь.

    Эти две формулы очень похожи. Если взять формулу Брахмагупты и установить d (длину четвертой стороны) равным нулю,
    четырехугольник становится треугольником. В формуле Брахмагупты термин (p-d) становится просто p, и формулы также остаются такими же.

    На рисунке выше, если вы будете осторожны, вы можете перетащить точку D, чтобы она оказалась поверх A, сделав d равным нулю, что иллюстрирует это сходство.

    Из этого вы можете видеть, что формула Герона — это просто частный случай формулы Брахмагупты. Напомним также, что все треугольники циклические.
    То есть вы всегда можете нарисовать круг через три вершины. Видеть
    Окружность треугольника.

    Что стоит попробовать

    На рисунке выше

    1. Щелкните «Скрыть подробности».
    2. Перетащите вершины, чтобы создать новый (непересеченный) четырехугольник.
    3. Вычислите площадь четырехугольника по формуле Брахмагупты.
    4. Оцените площадь, считая квадраты. Каждая — одна квадратная единица.
    5. Щелкните «Показать подробности», чтобы проверить свой ответ.

    Другие полигоны

    Общие

    Типы многоугольника

    Площадь различных типов полигонов

    Периметр различных типов полигонов

    Углы, связанные с многоугольниками

    Именованные многоугольники

    (C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
    Все права защищены.

    Четырехугольные стороны и области — The Math Doctors

    В прошлый раз мы рассмотрели применение формулы Герона к задачам о площади треугольника, где знания длин сторон достаточно, чтобы определить площадь; было мимолетное упоминание о том, что для четырехугольников нужно больше. Мы начнем с повторения этой идеи, а затем рассмотрим несколько частных случаев.

    Четырех сторон недостаточно

    Сначала рассмотрим этот вопрос из 1996 г .:

     Площадь неправильного многоугольника с заданной длиной стороны
    
    У меня вопрос: я пытаюсь определить  квадратный метр земельного участка .Проблема в том, что он не прямоугольный. Размеры четырех сторон по часовой стрелке сверху: 43,61, 133,64, 146,96 и 110,85. Я попытался разделить его на 3 части (2 прямоугольных треугольника и прямоугольник) и попробовал несколько разных формул, которые нашел на вашей странице, но , похоже, у меня недостаточно информации, не зная хотя бы одного из углов . 

    Доктор Том ответил:

     Вы правы - нельзя определить площадь четырехугольника только по длинам сторон.Представьте, что у вас есть стержни указанной выше длины, которые соединены вместе на концах с помощью шарнирных соединений. Должно быть ясно, что  все это может изгибаться таким образом, что могут быть сформированы совершенно разные формы . Если у вас есть длина диагонали или любого из углов, и вы знаете, что он вогнутый или выпуклый, вы можете решить эту проблему. С только сторонами вам не повезло. 

    Для иллюстрации, вот одна из возможных конфигураций собственности Пола (сплошные линии, область 9935.25) и еще один (пунктирные линии, площадь 10,405,58), полученный перемещением вершин C и D, чтобы сохранить все одинаковые длины:

    Любой дополнительный элемент информации, такой как угол, будет почти , чтобы зафиксировать форму. Но только если мы знаем, что он выпуклый. Вот еще одна версия, зеленая, вогнутая, но с теми же сторонами и одним углом (явно с меньшей площадью, а именно 6140,14):

    Итак, в общем, нам действительно понадобятся 6 фактов, чтобы определить четырехугольник.

    Взгляд на крайности

    Чтобы еще раз проиллюстрировать эту идею, рассмотрите вопрос из 2008:

     У фигурок с равными сторонами одинаковая площадь?
    
    Если у вас есть прямоугольник (рисунок A) со сторонами X и Y и Area = X x Y, и вы не изменяете длину сторон, а изменяете угол, образованный сторонами X и Y (т.е. уменьшаете с 90 до 85 градусов ) чтобы сделать фигуру B, , почему площадь фигуры B  (вычисленная по формуле 1/2 B x H)  теперь меньше, чем площадь фигуры A?  Это кажется нелогичным, поскольку длины сторон обеих фигур A и B по-прежнему идентичны.

    Я ответил на этот более общий вопрос аналогичным примером в более простом случае:

     Это противоречит интуиции, если ваша «интуиция» ошибочно полагает, что фигуры с одинаковыми сторонами должны иметь одинаковую площадь. Есть несколько способов тренировать свою интуицию  , чтобы увидеть, что истинный результат совершенно естественен.
    
    Во-первых,  представьте себе прямоугольник, сделанный из соединенных кусков металла , шарнирно закрепленных на углах. Он начинается с прямоугольника,
    
      о ------------------ o
      | |
      | |
      | |
      | |
      о ------------------ о
    
    а затем становится
    
          о ------------------ о
         / /
        / /
       / /
      о ------------------ о
    
    что не так высоко, но  может показаться вам примерно такой же площадью .Отодвиньте его дальше и продолжайте смотреть:
    
               о ------------------ о
            / /
         / /
      о ------------------ о
    
                о ------------------ о
           / /
      о ------------------ о
    
                  о ------------------ о
      о ------------------ о
    
    
      о ------------ о ----- о ------------ о
    
    Теперь его площадь равна нулю! Есть ли сомнения в том, что местность постоянно менялась?  Это было не так очевидно, если не зайти так далеко. 
    
    Это метод, используемый математиками: чтобы проверить, будет ли что-то  истинным при любых обстоятельствах  (например.грамм. идея о том, что площадь не должна меняться),  доведите ее до крайнего значения  и посмотрите, имеет ли это еще смысл.
    
    Еще один способ сделать это немного более интуитивно понятным - это подход, ведущий к исчислению. Представьте прямоугольник как вид сбоку стопки карт:
    
      -----------------------
      -----------------------
      -----------------------
      -----------------------
      -----------------------
      -----------------------
    
    Если вы сдвинете его так, что боковые наклоны будут иметь ту же высоту, а не потерять высоту, как это сделал наш другой прямоугольник; поскольку он по-прежнему состоит из тех же карт, эта новая фигура должна иметь ту же площадь:
    
           -----------------------
          -----------------------
         -----------------------
        -----------------------
       -----------------------
      -----------------------
    
    На этот раз, как бы далеко вы ее ни толкнули, высота останется прежней (хотя куча будет немного нестабильной), а площадь останется прежней.-----------------------
                      -----------------------
                  -----------------------
              -----------------------
          -----------------------
      -----------------------
    
    Причем у  длина наклонной стороны увеличивается на ; Таким образом, вы можете видеть, что если вы сдвинете прямоугольник и сохраните длину этой стороны одинаковой, вы потеряете площадь - некоторые карты придется вынуть, чтобы сохранить длину.
    
    Это помогает? 

    Мы обсуждали тренировку интуиции в посте «Когда математика не имеет смысла».

    А теперь давайте найдем несколько актуальных областей, где у нас с до достаточно информации!

    Для трапеции достаточно четырех сторон

    Вот хороший вопрос из 2008 года, в котором будут использованы наши прошлые идеи:

     Площадь трапеции с учетом только длины сторон
    
    Как бы вы нашли площадь трапеции без высоты, если бы все стороны заданы, и они не говорят вам, какие стороны параллельны?
    
    Бывший. Данная трапеция имеет длину стороны 1,2,3 и 4.Найдите область.
    
    Как бы вы нашли площадь без высоты? 

    Мы знаем, что мы можем найти площадь трапеции, используя длину двух оснований и высоту (хотя этого недостаточно для определения ее формы!), Используя формулу \ (K = \ displaystyle \ frac {h ( b_1 + b_2)} {2} \).

    Итак, четырех сторон должно быть достаточно … за исключением той части, что неизвестно, какие стороны параллельны. Хм…

    Я ответил:

     Интересный вопрос!
    
    Вы можете найти область, не зная заранее высоты, но вы должны знать, какие стороны параллельны. Разные пары параллельных сторон могут давать разные площади. 
    
    Чтобы найти площадь  с учетом только сторон И, параллельных , вы можете нарисовать параллелограмм внутри трапеции:
    
          + --------- +
         / / \
        / / \
       / / \
      + --------- + ----------- +
    
    Теперь вы знаете все три стороны треугольника, по которым вы можете определить его высоту. 

    То есть, мы могли бы использовать формулу Герона, чтобы найти площадь треугольника, а затем использовать высоту треугольника, чтобы найти площадь параллелограмма (или просто подставить эту высоту в формулу трапеции).Мы займемся этим, как только разберемся со сторонами ниже. Я начал исследовать, сделав обнадеживающее предположение:

     Давайте попробуем сделать это с очевидным первым выбором 2 и 4 для параллельных сторон:
    
               2
          + --------- +
         / / \
       1/1 / \ 3
       / 2/2 \
      + --------- + ----------- +
                 4
    
    Присмотревшись к треугольнику, мы увидим, что это невозможно! Теорема  о неравенстве треугольника  говорит, что  сумма любых двух сторон должна быть больше, чем другая сторона , но 1 + 2 = 3.Таким образом, 2 и 4 стороны не могут быть параллельны. 

    Обратите внимание, как я нарисовал общий рисунок без учета реальной длины, просто чтобы дать мне возможность подумать о процессе; но изображение в том виде, в каком оно обозначено, — ерунда, поскольку треугольник на самом деле был бы отрезком линии. (Попробуйте нарисовать фигуру в масштабе, если не видите, что не так.)

    Затем я проделал некоторую работу, чтобы определить, какие конфигурации дадут верное значение, которое я дам вам прочитать самостоятельно, если вам интересно. 2) = 3

    Попробуйте решить это; вы получите довольно красивое радикальное выражение лица после довольно тяжелой работы.2 = \ frac {49} {9} \\ h = \ sqrt {\ frac {32} {9}} = \ frac {4} {3} \ sqrt {2}. $$

    Наконец, площадь:

    $$ K = \ frac {h (b_1 + b_2)} {2} = \ frac {1} {2} \ frac {4} {3} \ sqrt {2} (1 + 4) = \ frac {10 } {3} \ sqrt {2}. $$

    Вызовите метод выше метода определения высоты или метода радикального уравнения .

    Вот моя альтернатива, которую мы можем назвать методом сначала области или методом Герона :

    Треугольник имеет стороны 2, 3 и 3, поэтому \ (\ displaystyle s = \ frac {2 + 3 + 3} {2} = 4 \), а по формуле Герона его площадь равна $$ \ sqrt {4 ( 4-2) (4-3) (4-3)} = \ sqrt {4 \ cdot2 \ cdot1 \ cdot1} = \ sqrt {8} = 2 \ sqrt {2}.

    $

    Поскольку это равно \ (\ frac {1} {2} bh = \ frac {3} {2} h, \), мы имеем \ (h = \ frac {2} {3} A = \ frac {2 } {3} 2 \ sqrt {2} = \ frac {4} {3} \ sqrt {2} \), как и раньше, и мы получаем ту же площадь.

    Альтернативы трапеции

    Пять лет спустя мы получили этот комментарий от читателя Дениса:

     Существует более простой способ завершить решение проблемы, чем любой из предложенных вами способов:
    
            1
          + ---- +
         / | | \
       2 / | | ч \ 3
       / | | \
      + --- + ---- + ------- +
       3-х 1 х
      .2} = \ sqrt {9 - \ frac {49} {9}} = \ sqrt {32} {9} = \ frac {4} {3} \ sqrt {2}. $$ 

    Опять же, у нас та же площадь.

    Это вызвало у меня новые мысли:

     Да, это намного проще, чем мое радикальное уравнение. Это хороший пример подхода к проблеме с другого направления - в данном случае, начиная с двух переменных, а не с одной, чтобы у вас было больше свободы в том, как ее решать, а затем увидеть, что устранение h (в результате получается многочлен) легче, чем исключить x (что приводит к радикалам).2)
    
    Затем я сложил их вместе. (На моей картинке изображены те же два треугольника, что и на твоей.) 

    Но есть и другие способы сделать это:

     Я также заметил, что мою альтернативную идею можно улучшить в этом конкретном случае, потому что мой треугольник равнобедренный:
    
          +
        1 / \
        +. \ 3
      1 / ч. \
      + ----------- +
            3
    
    Сначала мы можем найти площадь треугольника, взяв основание 2 и найдя высоту до этого основания, как показано выше, по теореме Пифагора.
    
          +
         /: \
       2 /: ч \ 3
       /: \
      + --- + ------- +
            3
    
    Затем, взяв 3 за основу, как показано здесь, мы можем использовать известную площадь, чтобы найти высоту h, и использовать ее, чтобы найти площадь параллелограмма.2} = \ sqrt {8} = 2 \ sqrt {2}, \), поэтому площадь треугольника будет $$ K = \ frac {1} {2} bh = \ frac {1} {2} 2 \ cdot2 \ sqrt {2} = 2 \ sqrt {2}. $$ Остальная работа выполняется так же, как в методе Герона. Назовите этот метод особого случая равнобедренной кости  . 

    Можете ли вы найти другие способы сделать это?

    Самый большой четырехугольник с заданными сторонами

    Есть еще одна вещь, которую следует сказать о попытках найти площадь четырехугольника, учитывая только стороны: мы можем, по крайней мере, определить наибольшую возможную площадь.Иногда я делал это для тех, кто знал только стороны своей собственности; часто площадь будет достаточно близка к максимальной, так что об этом стоит им сообщить. Вот одно из двух обсуждений, которые у нас были по этому поводу, начиная с 2001 года:

     Максимальная площадь четырехугольника
    
    Вот вопрос: задан четырехугольник со сторонами длиной a, b, c и d,  докажет, что его площадь максимальна, когда противоположные углы являются дополнительными .
    
    Я размышлял над этим вопросом несколько недель. Я попробовал исчисление, используя площадь как a * b * sin (угол между ними) и взяв производную.Я застрял со слишком большим количеством переменных. Я часто видел этот факт, но не могу это доказать.
    
    Моя последняя надежда? Доктор Математик! 

    Вот изображение:

    Доктор Рик принял вызов:

     Это можно доказать с помощью исчисления. Как вы предлагаете, вы начнете с формулы площади:
    
         K = (1/2) a * b * sin (альфа) + (1/2) c * d * sin (бета)
    
    где альфа - угол между сторонами a и b, а beta - угол между сторонами c и d. 2 \ beta}} \ cdot - \ frac {ab} {cd} \ sin \ alpha = \\ \ frac {1} {2} ab \ left (\ cos \ alpha + \ frac {\ cos \ beta} {\ sin \ beta} \ sin \ alpha \ right) = \ frac {1} {2} ab \ frac {\ sin (\ alpha + \ beta )} {\ sin \ beta}.

    $
     Производная равна нулю, когда альфа + бета = 180 градусов. Я уверен, что приложив немного больше усилий, вы сможете показать, что это условие дает максимум К. 

    .

    Итак, у нас есть условие для возможной максимальной площади, которая оказывается, по сути, максимальной.

    Теорема Бретшнайдера: циклические четырехугольники

    Доктор Рик закончил ссылкой на следующую страницу 2000 года, которая дает геометрический / тригонометрический подход к вопросу о максимальной площади:

     Теорема Бретшнайдера и циклические четырехугольники
    
    Мой профессор математического анализа III поднял эту проблему в классе:  Докажите, что максимизировать любой четырехугольник со сторонами ABCD означает вписать его в круг .2)).
    
    Когда этот четырехугольник был вписан, я увидел, что противоположные углы будут дополнительными, и, следовательно, площадь будет максимальной, потому что член косинуса будет равен 0.
    
    Мой профессор похлопал меня по спине и сказал: «Теперь докажите теорему. И пока вы занимаетесь этим, объясните, почему определение четырехугольника с дополнительными противоположными углами означает, что он вписывается в круг».
    
    Было бы полезно узнать о доказательстве этой теоремы. Не знаю, с чего начать. Также я знаю, что четырехугольник, вписанный в круг, имеет противоположные углы, которые складываются в 180 градусов, но я не знаю, как показать обратное, что если четырехугольник имеет дополнительные противоположные углы, то его можно поместить внутри круга.2 \ frac {A + C} {2}}; $$, поскольку квадрат косинуса всегда положителен, эта площадь наименьшая, когда косинус равен нулю, так что \ (\ frac {A + C} {2} \) равен 90 °, так что \ (A + C = 180 ° \). 

    Я опущу доказательство теоремы доктора Роба (этот пост уже достаточно длинный), но вот что он сказал о том, что четырехугольник является циклическим (вписанным в круг):

     Показать, что, когда противоположные углы дополняют друг друга, четырехугольник является вписанным, не так уж сложно. Выберите один из двух углов, скажем 
    

    Итак, самый большой четырехугольник для данного набора сторон имеет все свои вершины на окружности.

    Давайте применим это к первой проблеме, которую мы рассмотрели. Я нарисовал две возможные выпуклые конфигурации свойства, площадь которых (согласно GeoGebra, которую я использовал для его рисования) составляет 9935,25 (сплошные линии) и 10,405,58 (пунктирные линии) соответственно. Вот максимально возможная площадь - 10 480.49:

    Мы можем использовать формулу Бретшнайдера без квадратного члена, которая называется формулой Брахмагупты , чтобы проверить площадь: $$ s = \ frac {1} {2} (43,61 + 133,64 + 146,96 + 110,85) = 217,53 \\ K = \ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd)} = \ sqrt {(173,92) (83,89) (70,57) (106,68)} = 10 480,49. $$

    Кстати, вы обратили внимание, насколько формула Брахмагупты похожа на формулу Герона? Мы получим последнее, если просто уменьшим четвертую сторону четырехугольника до 0. В этом есть смысл, не так ли? И эта формула запоминается даже лучше, чем формула Герона.

    Оказывается также, что обсуждаемый нами факт распространяется на любой многоугольник: наибольшая площадь для данного набора сторон - это площадь циклического многоугольника. К сожалению, я не знаю формулы, которая напрямую дает эту площадь.

    В следующий раз мы рассмотрим формулы, основанные на координатах вершин; тогда у нас будут все инструменты, необходимые для определения площади вашего двора.

    Формула площади

    для четырехугольника - объяснения, типы и часто задаваемые вопросы

    Четырехугольник - это четырехсторонняя двухмерная геометрическая фигура, сумма всех четырех внутренних углов которой составляет 360 o .Также у него 4 ребра (стороны) и четыре вершины (угол). Есть два разных типа четырехугольника: правильные четырехугольники и неправильные четырехугольники. Некоторые известные примеры четырехугольников - это квадрат, прямоугольник, трапеция, ромб, воздушный змей и параллелограмм.

    Площадь четырехугольника - это количество квадратных единиц, которые можно в него превратить. Здесь мы рассмотрим важные формулы площади четырехугольника и узнаем, как найти площадь четырехугольника.

    Площадь четырехугольника общей формулы

    Давайте научимся определять площадь общей формулы четырехугольника.Рассмотрим четырехугольник PQRS, приведенный ниже:

    • Мы можем наблюдать следующий четырехугольник как комбинацию двух треугольников, рассматривая диагональ PQ как общую основу.

    • h₁ и h₂ - высоты треугольников PQR и PSR соответственно.

    Площадь четырехугольника PQRS может быть вычислена путем сложения площади двух треугольников, то есть PQR и PSR.

    Рассчитаем площадь треугольника PQR и площадь треугольника PSR.

    Площадь ΔPSR = 1/2 x Основание x Высота = 1/2 x PR xh 1

    Площадь ΔPQR = 1/2 x База x Высота = 1/2 x PR xh 2

    Следовательно, площадь четырехугольника PQRS составляет

    Площадь ΔPSR + Площадь ΔPQR = 1/2 x PR xh 1 + 1/2 x PR xh 2 = PR (h 1 + h 2 /2)

    = 1/2 PR (h 1 + h 2 )

    Следовательно, формула для определения площади четырехугольника получается как:

    Площадь общей формулы четырехугольника = 1/2 x длина диагонали x (сумма высоты двух треугольников).

    Площадь четырехугольника в тригонометрических терминах

    Формула для определения площади четырехугольника в тригонометрических терминах имеет следующий вид:

    Площадь = ½ x ab x Sin θ

    Где a и b - длина диагоналей четырехугольник и угол между ними.

    В случае ортогональных четырехугольников (таких как квадрат, воздушный змей и ромб) формулы сводятся к минимуму до

    Площадь = ½ x ab (поскольку θ равно 90 o ).

    Площадь четырехугольника Формула Координатная геометрия

    Если ABCD - четырехугольник с диагональю AC, то мы можем разделить четырехугольник на два треугольника ABC и ACD.

    Теперь, используя формулу площади треугольника с учетом его вершин, мы можем определить площадь треугольников ABC и ACD

    Следовательно, площадь координатной геометрии четырехугольника формула задается как:

    Площадь четырехугольника ABCD = Площадь треугольника ABC + Площадь треугольника ACD

    Используя эту информацию, мы можем найти площадь четырехугольника, если заданы его вершины:

    Пусть вершины четырехугольника ABCD равны A (x₁, y₁), B (x₂, y₂), C ( x₃, y₃), D (x₄, y₄)

    Площадь четырехугольника ABCD = Площадь треугольника ABD + Площадь треугольника BCD

    +1/2 {(x₁y₂ + x₂y₄ + x₄y₁) - (x₂y₁ + x₄y₂ + x₁y₄)}

    = 1/2 {(x₂y₃ + x₃y₄ + x₄y₂) - (x₃y₂ + x₄y₃ + x₂y₄)}

    = 1/2 {(x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₄ + x₄y₁) - (x₂y₁ + x₃y₂ + x₄y₃ + x₁y₄)}

    = 1/2 (x₁ - x₃) (y₂ - y₄) - (x₂ -x₄) (y₁ - y₃) кв.ед.

    Формулы для определения площади четырехугольника

    Вот список формул для определения площади четырехугольника, таких как квадрат, воздушный змей, параллелограмм, трапеция, прямоугольник и ромб.

    Четырехугольник

    Рисунок

    Формула площади

    Квадрат

    Сторона² или x²

    Прямоугольник

    Длина (l) x ширина (b)

    Равнобедренная трапеция

    1/2 Сумма параллельных сторон Расстояние между ними

    Или

    1/2 (a + b) h

    Параллелограмм

    Базовая высота

    Воздушный змей

    1/2 x диагональ 1 x диагональ 2

    Ромб

    1/2 x диагональ 1 x диагональ 2

    Заключение

    Здесь мы обсудили формулу площади для различных типов четырехугольников.Эти четырехугольные формулы помогут вам вычислить площадь квадрата, прямоугольника, параллелограмма, воздушного змея, ромба и трапеции. Мы также обсудили площадь координатной геометрии четырехугольника, которая получается путем деления четырехугольника на два треугольника, вычисления площади каждого треугольника с учетом его вершин и сложения этих значений, чтобы получить общую площадь четырехугольника.

    Расчет длины диагонали четырехугольника

    Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно
    или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее
    в
    информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на
    ан
    Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент
    средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

    Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как
    в качестве
    ChillingEffects.org.

    Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно
    искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится
    на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

    Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

    Вы должны включить следующее:

    Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени;
    Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены;
    Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \
    достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется
    а
    ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание
    к какой конкретной части вопроса - изображению, ссылке, тексту и т. д. - относится ваша жалоба;
    Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также
    Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает
    ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все
    информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы
    либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

    Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

    Чарльз Кон
    Varsity Tutors LLC
    101 S. Hanley Rd, Suite 300
    St. Louis, MO 63105

    Или заполните форму ниже:

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *