Площадь разностороннего четырехугольника: Площадь неправильного четырехугольника с заданными сторонами

Четырёхугольником называется фигура, которая состоит из четырёх точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Четырёхугольник называется выпуклым, если он расположен в одной полуплоскости относительно прямой, которая содержит любую из его сторон.

Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°:

∠A+∠B+∠C+∠D=360°.

Не существует четырёхугольников, у которых все углы острые или все углы тупые.

Каждый угол четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных углов:

∠A < ∠B+∠C+∠D,   ∠B < ∠A+∠C+∠D,

∠C < ∠A+∠B+∠D,   ∠D < ∠A+∠B+∠D.

Каждая сторона четырёхугольника всегда меньше суммы трёх остальных сторон:

a < b+c+d,   b < a+c+d,

c < a+b+d,   d < a+b+c.

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна:

Диагоналями четырёхугольника называются отрезки, соединяющие его противолежащие вершины.

Диагонали выпуклого четырёхугольника пересекаются, а невыпуклого – нет.

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника:

Если M, N, P, Q – середины сторон выпуклого четырёхугольника ABCD, а  R, S – середины его диагоналей, то четырёхугольники MNPQ, MRPS, NSQR являются параллелограммами и называются параллелограммами Вариньона.

Форма и размеры параллелограммов Вариньона связаны с формой и размерами данного четырёхугольника ABCD. Так MNPQ – прямоугольник, если диагонали четырёхугольника ABCD перпендикулярны;  MNPQ – ромб, если диагонали четырёхугольника ABCD равны;  MNPQ – квадрат, если диагонали четырёхугольника ABCD перпендикулярны и равны;

S_ABCD = 2S_MNPQ .

Отрезки  MP, NQ и RS называются первой, второй и третьей средними линиями выпуклого четырёхугольника.

В параллелограмме, и только в нём, середины диагоналей совпадают, и потому третья средняя линия вырождается в точку. Для других четырёхугольников средние линии – отрезки.

Все средние линии четырёхугольника пересекаются в одной точке и делятся ею пополам:

MG=GP,   NG=GQ,   RG=GS .

Сумма квадратов средних линий четырёхугольника равна четверти суммы квадратов всех его сторон и диагоналей:

MP²+ NQ²+ RS ² = ¼(AB²+BC²+CD²+AD²+AC²+BD²).

Если β – угол между первой и второй средними линиями четырёхугольника, то его площадь:

S_ABCD = MP·NQ·sinβ.

Равными плитками, которые имеют форму произвольного, не обязательно выпуклого, четырёхугольника можно замостить плоскость так, чтобы не было наложений плиток друг на друга и не осталось непокрытых участков плоскости. 

Четырёхугольник называется описанным около окружности (описанным), если существует такая окружность, которая касается всех его сторон, тогда сама окружность называется вписанной.

Четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, кода суммы его противолежащих сторон равны:

a+c = b+d.

Для сторон описанного четырёхугольника и радиуса вписанной в него окружности верно:

a+c ≥ 4r,   b+d ≥ 4r.

Площадь описанного четырёхугольника:

S = pr,

где r – радиус вписанной окружности, p – полупериметр четырёхугольника.

Площадь описанного четырёхугольника:

Центр вписанной в четырёхугольник окружности является точкой пересечения биссектрис всех четырёх углов этого четырёхугольника.

Точки касания вписанной окружности отсекают равные отрезки от углов четырёхугольника:

AK=AN,   BK=BL,   CL=CM,   DM=DN.

Если O – центр окружности, вписанной в четырёхугольник ABCD, то

∠AOB+∠COD=∠BOC+∠AOD=180°.

Для описанного четырёхугольника ABCD со сторонами AB=a, BC=b, CD=c и AD=d верны соотношения:

Четырёхугольник называется вписанным в окружность (вписанным), если существует окружность, проходящая через все его вершины, тогда сама окружность называется описанной около четырёхугольника.

Выпуклый четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180°:

∠A+∠C=∠B+∠D=180°.

Центр описанной около четырёхугольника окружности является точкой пересечения всех четырёх серединных перпендикуляров сторон этого четырёхугольника.

Первая теорема Птолемея. Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство:

Вторая теорема Птолемея. Выпуклый четырёхугольник тогда и только тогда является вписанным, когда выполняется равенство:

Радиус окружности, описанной около четырёхугольника:

Площадь вписанного четырёхугольника:

Диагонали выпуклого четырёхугольника разбивают каждый его угол на два угла. Углы, опирающиеся на одну сторону, называются связанными углами.

Выпуклый четырёхугольник является вписанным тогда и только тогда, когда у него есть хотя бы одна пара равных связанных углов.

У вписанного четырёхугольника любые два связанных угла равны.

Если четырёхугольник одновременно является описанным и вписанным, то его площадь:

Для радиусов описанной и вписанной окружностей данного четырёхугольника и расстояния между центрами этих окружностей выполняется соотношение:

Параллелограммом называется четырёхугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны:

AB||CD,   BC||AD.

У параллелограмма противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны:

AB=CD,   BC=AD;

∠A=∠C,   ∠B=∠D.

Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180°:

∠A+∠B=∠B+∠C=∠C+∠D=∠A+∠D=180°.

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам:

AO=OC;   BO=OD.

Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника:

∠ABC=∠CDA;   ∠ABD=∠CDB.

Две диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника:

S_ΔABO=S_ΔBCO=S_ΔCDO=S_ΔADO.

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:

e²+f² = a²+b²+a²+b² = 2(a²+b²). 

Признаки параллелограмма:

• Если у четырёхугольника противолежащие стороны попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
• Если у четырёхугольника две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
• Четырёхугольник, диагонали которого в точке пересечения делятся пополам – параллелограмм.
• Если  у четырёхугольника противолежащие углы попарно равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Высотой параллелограмма называется перпендикуляр, проведённый из вершины параллелограмма к неприлежащей стороне:

h_a = b·sin γ;   h_b = a·sin γ.

Площадь параллелограмма можно определить:

• через его сторону и высоту, проведённую к ней:

S = ah_a = bh_b;

• через две его стороны и угол между ними:

S = ab·sin γ.

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны:

AB=BC=CD=AD.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов:

AC⊥BD;

∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB;   ∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA.

В любой ромб можно вписать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей.

Радиус окружности, вписанной в ромб, можно вычислить:

• через высоту ромба:

• через диагонали ромба и сторону:

• через отрезки, на которые делит сторону ромба точка касания:

Площадь ромба можно определить:

• через диагонали:

• через сторону и угол ромба:

• через сторону и высоту:

• через сторону и радиус вписанной окружности:

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые:

∠A=∠B=∠C=∠D=90°.

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся на четыре равных отрезка:

AC=BD;

AO=BO=CO=DO.

Площадь прямоугольника можно определить:

• через его стороны:

S = ab;

• через диагонали и угол между ними:

S = ½d²·sin γ.

Около любого прямоугольника можно описать окружность с центром в точке пересечения его диагоналей и радиусом, который равен половине диагонали:

BD = 2R.

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны:

∠A=∠B=∠C=∠D=90°,

AB=BC=CD=AD.

Диагонали квадрата равны и перпендикулярны.

Сторона и диагональ квадрата связаны соотношениями:

Площадь квадрата:

У квадрата центры вписанной и описанной окружностей совпадают и находятся в точке пересечения его диагоналей.

Радиус описанной окружности:

Радиус вписанной окружности:

Трапецией называется четырёхугольник у которого только две противолежащие стороны параллельны:

AD||BC.

Параллельные стороны называются основаниями трапеции, непараллельные – боковыми сторонами.

Высота трапеции – перпендикуляр, проведённый из произвольной точки одного основания трапеции к прямой, содержащей другое основание трапеции.  

Средней линией (первой средней линией) трапеции называется отрезок, который соединяет середины боковых сторон данной трапеции:

AK=KB;   CL=LD.

Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме:

KL||AD;   KL||BC;

KL = ½(AD+BC).

При продолжении до пересечения боковых сторон трапеции образуются два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению основ:

ΔAED∼ΔBEC,   k=AD/BC.

Треугольники, образованные основами и отрезками диагоналей подобны с коэффициентом подобия, равным отношению основ:

ΔAОD∼ΔCОВ,   k=AD/BC.

Площади треугольников, образованных боковыми сторонами и отрезками диагоналей трапеции, равны:

S_ΔABO = S_ΔCDO.

Отрезок, соединяющий середины оснований (вторая средняя линия) трапеции, проходит через точку пересечения диагоналей, а его продолжение – через точку пересечения продолжений боковых сторон:

O∈KL;   E∈KL.

Отрезок, соединяющий середины диагоналей (третья средняя линия) трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности:

RS||AD;   RS||BC;

RS = ½(AD–BC).

В трапецию можно вписать окружность, если сумма её основ равна сумме боковых сторон:

AD+BC=AB+CD.

Центром вписанной в трапецию окружности является точка пересечения биссектрис внутренних углов трапеции.

В трапецию АВСD с основаниями AD и BC можно вписать окружность тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из равенств:

Боковые стороны трапеции видны из центра окружности, вписанной в данную трапецию, под прямым углом:

∠AOB=∠COD=90°.

Радиус вписанной в трапецию окружности можно определить:

• через отрезки, на которые делится боковая сторона точкой касания:

Равнобокой называется трапеция, у которой боковые стороны равны:

AB=CD. 

У равнобокой трапеции:

• диагонали равны:

AC=BD;

• углы при основании равны:

∠A=∠D,   ∠B=∠C;

• сумма противолежащих углов равна 180?:

∠A+∠C=∠B+∠D=180°.

Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.

Стороны и диагональ равнобокой трапеции связаны соотношением:

d² = ab+c².

Трапеция называется прямоугольной, если одна из её боковых сторон перпендикулярна основаниям.

Площадь трапеции можно определить:

• через полусумму оснований (первую среднюю линию) и высоту:

• через диагонали и угол между ними:

Дельтоид называется четырёхугольник, который имеет две пары равных соседних сторон.

Дельтоид может быть выпуклым или невыпуклым.

Прямые, содержащие диагонали любого дельтоида пересекаются под прямым углом.

В любом дельтоиде углы между соседними неравными сторонами равны.

Площадь любого дельтоида можно определить:

• через его диагонали:

• через две соседние неравные стороны и угол между ними:

S = ab·sin α .

В любой выпуклый дельтоид можно вписать окружность.

Если выпуклый дельтоид не является ромбом, то существует окружность, касающаяся продолжений всех четырёх сторон данного дельтоида.

Для невыпуклого дельтоида можно построить окружность, касающуюся двух сторон большей длины и продолжений двух меньших сторон, а также окружность, касающуюся двух меньших сторон и продолжений двух сторон большей длины.   

Вокруг дельтоида можно описать окружность тогда и только тогда, когда его неравные стороны образуют углы по 90°.

Радиус окружности, описанной около дельтоида можно определить через две его неравные стороны:

Четырёхугольник называется ортодиагональным, если его диагонали пересекаются под прямым углом.

Четырёхугольник является ортодиагональным тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:

• для сторон четырёхугольника верно: a²+c² = b²+d²;
• для площади четырёхугольника верно: S = ½ef;
• параллелограмм Вариньона с вершинами в серединах сторон четырёхугольника является прямоугольником.

Сумма квадратов противолежащих сторон вписанного в окружность ортодиагонального четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной окружности:

a²+c² = b²+d² = 4R².2 \Rightarrow
S_{\text{пр-к}}=ab \end{multline*}\)

Определение

Высота параллелограмма — это перпендикуляр, проведенный из вершины параллелограмма к стороне (или к продолжению стороны), не содержащей эту вершину.
Например, высота \(BK\)
падает на сторону \(AD\)
, а высота \(BH\)
— на продолжение стороны \(CD\)
:

Теорема: площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению высоты и стороны, к которой проведена эта высота.

Доказательство

Проведем перпендикуляры \(AB»\)
и \(DC»\)
, как показано на рисунке. Заметим,что эти перпендикуляры равны высоте параллелограмма \(ABCD\)
.

Тогда \(AB»C»D\)
– прямоугольник, следовательно, \(S_{AB»C»D}=AB»\cdot
AD\)
.

Заметим, что прямоугольные треугольники \(ABB»\)
и \(DCC»\)
равны. Таким образом,

\(S_{ABCD}=S_{ABC»D}+S_{DCC»}=S_{ABC»D}+S_{ABB»}=S_{AB»C»D}=AB»\cdot
AD.\)

\[{\Large{\text{Площадь треугольника}}}\]

Определение

Будем называть сторону, к которой в треугольнике проведена высота, основанием треугольника.

Теорема

Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию.

Доказательство

Пусть \(S\)
– площадь треугольника \(ABC\)
. Примем сторону \(AB\)
за основание треугольника и проведём высоту \(CH\)
. Докажем, что \
Достроим треугольник \(ABC\)
до параллелограмма \(ABDC\)
так, как показано на рисунке:

Треугольники \(ABC\)
и \(DCB\)
равны по трем сторонам (\(BC\)
– их общая сторона, \(AB = CD\)
и \(AC = BD\)
как противоположные стороны параллелограмма \(ABDC\)
), поэтому их площади равны. Следовательно, площадь \(S\)
треугольника \(ABC\)
равна половине площади параллелограмма \(ABDC\)
, то есть \(S = \dfrac{1}{2}AB\cdot CH\)
.

Теорема

Если два треугольника \(\triangle ABC\)
и \(\triangle A_1B_1C_1\)
имеют равные высоты, то их площади относятся как основания, к которым эти высоты проведены.

Следствие

Медиана треугольника делит его на два треугольника, равных по площади.

Теорема

Если два треугольника \(\triangle ABC\)
и \(\triangle A_2B_2C_2\)
имеют по равному углу, то их площади относятся как произведения сторон, образующих этот угол.

Доказательство

Пусть \(\angle A=\angle A_2\)
. Совместим эти углы так, как показано на рисунке (точка \(A\)
совместилась с точкой \(A_2\)
):

Проведем высоты \(BH\)
и \(C_2K\)
.

Треугольники \(AB_2C_2\)
и \(ABC_2\)
имеют одинаковую высоту \(C_2K\)
, следовательно: \[\dfrac{S_{AB_2C_2}}{S_{ABC_2}}=\dfrac{AB_2}{AB}\]

Треугольники \(ABC_2\)
и \(ABC\)
имеют одинаковую высоту \(BH\)
, следовательно: \[\dfrac{S_{ABC_2}}{S_{ABC}}=\dfrac{AC_2}{AC}\]

Перемножая последние два равенства, получим: \[\dfrac{S_{AB_2C_2}}{S_{ABC}}=\dfrac{AB_2\cdot AC_2}{AB\cdot AC} \qquad \text{ или
} \qquad \dfrac{S_{A_2B_2C_2}}{S_{ABC}}=\dfrac{A_2B_2\cdot
A_2C_2}{AB\cdot AC}\]

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов:

Верно и обратное: если в треугольнике квадрат длины одной стороны равен сумме квадратов длин других двух сторон, то такой треугольник прямоугольный.

Теорема

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

Теорема: формула Герона

Пусть \(p\)
– полупериметр треугольника, \(a\)
, \(b\)
, \(c\)
– длины его сторон, тогда его площадь равна \

\[{\Large{\text{Площадь ромба и трапеции}}}\]

Замечание

Т.к. ромб является параллелограммом, то для него верна та же формула, т.е. площадь ромба равна произведению высоты и стороны, к которой проведена эта высота.

Теорема

Площадь выпуклого четырехугольника, диагонали которого перпендикулярны, равна половине произведения диагоналей.

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник \(ABCD\)
. Обозначим \(AO=a, CO=b, BO=x,
DO=y\)
:

Заметим, что данный четырехугольник составлен из четырех прямоугольных треугольников, следовательно, его площадь равна сумме площадей этих треугольников:

\(\begin{multline*}
S_{ABCD}=\frac12ax+\frac12xb+\frac12by+\frac12ay=\frac12(ax+xb+by+ay)=\\
\frac12((a+b)x+(a+b)y)=\frac12(a+b)(x+y)\end{multline*}\)

Следствие: площадь ромба

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: \

Определение

Высота трапеции – это перпендикуляр, проведенный из вершины одного основания к другому основанию.

Теорема: площадь трапеции

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

Доказательство

Рассмотрим трапецию \(ABCD\)
с основаниями \(BC\)
и \(AD\)
. Проведем \(CD»\parallel AB\)
, как показано на рисунке:

Тогда \(ABCD»\)
– параллелограмм.

Проведем также \(BH»\perp AD, CH\perp AD\)
(\(BH»=CH\)
– высоты трапеции).

Тогда \(S_{ABCD»}=BH»\cdot AD»=BH»\cdot BC, \quad S_{CDD»}=\dfrac12CH\cdot D»D\)

Т.к. трапеция состоит из параллелограмма \(ABCD»\)
и треугольника \(CDD»\)
, то ее площадь равна сумме площадей параллелограмма и треугольника, то есть:

\
\[=\dfrac12
CH\left(BC+AD»+D»D\right)=\dfrac12 CH\left(BC+AD\right)\]

Каждый, кто изучал в школе математику и геометрию, хотя бы поверхностно знает эти науки. Но со временем, если в них не практиковаться, познания забываются. Многие даже считают, что только зря потратили своё время, изучая геометрические расчёты. Однако они ошибаются. Технические работники выполняют повседневную работу, связанную с геометрическими расчётами. Что касается расчета площади многоугольника, то и эти знания находят своё применение в жизни. Понадобятся они хотя бы для того, чтобы рассчитать площадь земельного участка. Итак, давайте узнаем, как найти площадь многоугольника.

Определение многоугольника

Сначала определимся с тем, что такое многоугольник. Это плоская геометрическая фигура, которая образовалась в результате пересечения трех или более прямых. Другое простое определение: многоугольник — это замкнутая ломаная. Естественно, при пересечении прямых образуются точки пересечения, их количество равно количеству прямых, образовывающих многоугольник. Точки пересечения называют вершинами, а отрезки, образованные от прямых, — сторонами многоугольника. Смежные отрезки многоугольника находятся не на одной прямой. Отрезки, являющиеся несмежными, — это те, которые не проходят через общие точки.

Сумма площадей треугольников

Как находить площадь многоугольника? Площадь многоугольника — это внутренняя часть плоскости, которая образовалась при пересечении отрезков или сторон многоугольника. Поскольку многоугольник — это сочетание таких фигур, как треугольник, ромб, квадрат, трапеция, то универсальной формулы для вычисления его площади просто нет. На практике наиболее универсальным является метод разбиения многоугольника на более простые фигуры, нахождение площади которых не вызывают затруднений. Сложив суммы площадей этих простых фигур, получают площадь многоугольника.

Через площадь окружности

В большинстве случаев многоугольник имеет правильную форму и образует фигуру с равными сторонами и углами между ними. Рассчитать площадь в этом случае очень просто при помощи вписанной или описанной окружности. Если известна площадь окружности, то её необходимо умножить на периметр многоугольника, а затем полученное произведение поделить на 2. В итоге получается формула расчёта площади такого многоугольника: S = ½∙P∙r., где P — площадь окружности, а r — периметр многоугольника.

Метод разбиения многоугольника на «удобные» фигуры — самый популярный в геометрии, он позволяет быстро и правильно найти площадь многоугольника. 4 класс средней школы обычно изучает такие методы.

В данной статье речь пойдёт о том, как выразить площадь многоугольника, в который можно вписать окружность, через радиус этой окружности. Сразу стоит отметить, что не во всякий многоугольник можно вписать окружность. Однако, если это возможно, то формула, по которой вычисляется площадь такого многоугольника, становится очень простой. Дочитайте эту статью до конца или посмотрите прилагающийся видеоурок, и вы узнаете, как же выразить площадь многоугольника через радиус вписанной в него окружности.

Формула площади многоугольника через радиус вписанной окружности

Нарисуем многоугольник A
1 A
2 A
3 A
4 A
5 , не обязательно правильный, но такой, в который можно вписать окружность. Напомню, что вписанной называется окружность, которая касается всех сторон многоугольника. На рисунке это зелёная окружность с центром в точке O
:

Мы взяли здесь для примера 5-угольник. Но на самом деле это не имеет существенного значения, поскольку дальнейшее доказательство справедливо и для 6-угольника и для 8-угольника и вообще для любого сколь угодно «угольника».

Если соединить центр вписанной окружности со всеми вершинами многоугольника, то он разобьётся на столько треугольников, сколько вершин в данном многоугольнике. В нашем случае: на 5 треугольников. Если же соединить точку O
со всеми точками касания вписанной окружности со сторонами многоугольника, то получится 5 отрезков (на рисунке снизу это отрезки OH
1 , OH
2 , OH
3 , OH
4 и OH
5), которые равны радиусу окружности и перпендикулярны сторонам многоугольника, к которым они проведены. Последнее справедливо, поскольку радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной:

Как же найти площадь нашего описанного многоугольника? Ответ прост. Нужно сложить площади всех полученных в результате разбиения треугольников:

Рассмотрим, чему равна площадь треугольника . На рисунке снизу он выделен жёлтым цветом:

Она равна половине произведения основания A
1 A
2 на высоту OH
1 , проведённую к этому основанию. Но, как мы уже выяснили, эта высота равна радиусу вписанной окружности. То есть формула площади треугольника принимает вид: , где r
— радиус вписанной окружности. Аналогично находятся площади всех оставшихся треугольников. В результате искомая площадь многоугольника оказывается равна:

Видно, что во всех слагаемых этой суммы ест общий множитель , который можно вынести за скобки. В результате получится вот такое выражение:

То есть в скобках осталась просто сумма всех сторон многоугольника, то есть его периметр P
. Чаще всего в этой формуле выражение заменяют просто на p
и называют эту букву «полупериметром». В результате, окончательная формула принимает вид:

То есть площадь многоугольника, в который вписана окружность известного радиуса, равна произведению этого радиуса на полупериметр многоугольника. Это и есть тот результат, в которому мы стремились.

Отметит напоследок, что в треугольник, который является частным случаем многоугольника, всегда можно вписать окружность. Поэтому для треугольника эту формулу можно применять всегда. Для остальных многоугольников, с количеством сторон большим 3, сперва нужно убедиться, что в них можно вписать окружность. Если это так, можно смело использовать эту простую формулу и находить по ней площадь этого многоугольника.

Материал подготовил , Сергей Валерьевич

Конвертер единиц расстояния и длины Конвертер единиц площади Присоединяйтесь © 2011-2017 Довжик Михаил Копирование материалов запрещено. В онлайн калькуляте можно использовать величины в одинаквых единицах измерения! Если у вас возниели трудности с преобразованием едениц измерения воспользуйтесь конвертером единиц расстояния и длины и конвертером единиц площади. Дополнительные возможности калькулятора вычисления площади четырехугольника

• Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши «вправо» и «влево» на клавиатуре.

Теория. Площадь четырехугольника Четырёхугольник — геометрическая фигура, состоящая из четырёх точек (вершин), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки. Четырёхугольник называется выпуклым, если отрезок соединяющий любые две точки этого четырехугольника, будет находиться внутри него.

Как узнать площадь многоугольника?

Формула определения площади определяется путем взятия каждого ребра многоугольника АВ, и вычисления площади треугольника АВО с вершиной в начале координат О, через координаты вершин. При обходе вокруг многоугольника, образуются треугольники, включающие внутреннюю часть многоугольника и расположенные снаружи его. Разница между суммой этих площадей и есть площадь самого многоугольника.

Поэтому формула называется формулой геодезиста, так как «картограф» находится в начале координат; если он обходит участок против часовой стрелки, площадь добавляется если она слева и вычитается если она справа с точки зрения из начала координат. Формула площади действительна для любого самонепересекающегося (простого) многоугольника, который может быть выпуклым или вогнутым. Содержание

• 1 Определение
• 2 Примеры
• 3 Более сложный пример
• 4 Объяснение названия
• 5 См.

Площадь многоугольника

Внимание

Это может быть:

• треугольник;
• четырехугольник;
• пяти- или шестиугольник и так далее.

Такая фигура непременно будет характеризоваться двумя положениями:

1. Смежные стороны не принадлежат одной прямой.
2. У несмежных отсутствуют общие точки, то есть они не пересекаются.

Чтобы понять, какие вершины являются соседними, потребуется посмотреть, принадлежат ли они одной стороне. Если да, то соседние. В противном случае их можно будет соединить отрезком, который необходимо назвать диагональю. Их можно провести только в многоугольниках, у которых больше трех вершин.

Какие их виды существуют? Многоугольник, у которого больше четырех углов, может быть выпуклым или вогнутым. Отличие последнего в том, что некоторые его вершины могут лежать по разные стороны от прямой, проведенной через произвольную сторону многоугольника.

Как найти площадь правильного и неправильного шестиугольника?

• Зная длину стороны, умножим её на 6 и получим периметр шестиугольника:10 см х 6 = 60 см
• Подставим полученные результаты в нашу формулу:

Площадь = 1/2*периметр*апофему Площадь = ½*60см*5√3 Решаем: Теперь осталось упростить ответ, чтобы избавиться от квадратных корней, а полученный результат укажем в квадратных сантиметрах: ½ * 60 см * 5√3 см =30 * 5√3 см =150 √3 см =259.8 см² Видео о том, как найти площадь правильного шестиугольника Существует несколько вариантов определения площади неправильного шестиугольника:

• Метод трапеции.
• Метод расчета площади неправильных многоугольников при помощи оси координат.
• Метод разбивания шестиугольника на другие фигуры.

В зависимости от исходных данных, которые вам будут известны, подбирается подходящий метод.

Важно

Некоторые неправильные шестиугольники состоят из двух параллелограммов. Для определения площади параллелограмма следует умножить его длину на ширину и затем сложить две уже известные площади. Видео о том, как найти площадь многоугольника Равносторонний шестиугольник имеет шесть равных сторон и является правильным шестиугольником.

Площадь равностороннего шестиугольника равняется 6 площадям треугольников, на которые разбита правильная шестиугольная фигура. Все треугольники в шестиугольнике правильной формы равны, поэтому для нахождения площади такого шестиугольника достаточно будет знать площадь хотя бы одного треугольника. Для нахождения площади равностороннего шестиугольника используется, конечно же, формула площади правильного шестиугольника, описанная выше.

404 not found

Украшение жилища, одежды, рисование картин способствовало процессу формирования и накопления сведений в области геометрии, которые люди тех времён добывали опытным путем, по крупицам и передавали из поколения в поколение. Сегодня знания геометрии необходимы и закройщику, и строителю, и архитектору и каждому простому человеку в быту. Поэтому нужно учиться рассчитывать площадь различных фигур, и помнить, что каждая из формул может пригодиться впоследствии на практике, в том числе, и формула правильного шестиугольника.

Шестиугольником называется такая многоугольная фигура, общее количество углов которой равно шести. Правильным шестиугольником называют шестиугольную фигуру, которая имеет равные стороны. Углы у правильного шестиугольника также между собой равны.

В повседневной жизни мы часто можем встретить предметы, имеющие форму правильного шестиугольника.

Калькулятор площади неправильного многоугольника по сторонам

Вам понадобится

• — рулетка;
• — электронный дальномер;
• — лист бумаги и карандаш;
• — калькулятор.

Инструкция 1 Если вам нужна общая площадь квартиры или отдельной комнаты, просто прочтите технический паспорт на квартиру или дом, там указан метраж каждого помещения и общий метраж квартиры. 2 Для измерения площади прямоугольной или квадратной комнаты возьмите рулетку или электронный дальномер и измерьте длину стен. При измерении расстояний дальномером обязательно следите за перпендикулярностью направления луча, иначе результаты замеров могут быть искажены. 3 Затем полученную длину (в метрах) комнаты умножьте на ширину (в метрах). Полученное значение и будет площадью пола, она измеряется в квадратных метрах.

Формула площади гаусса

Если требуется посчитать площадь пола более сложной конструкции, например, пятиугольной комнаты или комнаты с круглой аркой, схематично начертите эскиз на листе бумаги. Затем разделите сложную форму на несколько простых, например, на квадрат и треугольник или прямоугольник и полукруг. Измерьте при помощи рулетки или дальномера величину всех сторон получившихся фигур (для круга необходимо узнать диаметр) и занесите результаты на ваш чертеж.

5 Теперь посчитайте площадь каждой фигуры по отдельности. Площадь прямоугольников и квадратов высчитывайте перемножением сторон. Для расчета площади круга диаметр разделите пополам и возведите в квадрат (умножьте его на самого себя), затем умножьте полученное значение на 3,14.
Если вам нужна только половина круга, разделите полученную площадь пополам. Чтобы рассчитать площадь треугольника, найдите Р, для этого сумму всех сторон поделите на 2.

Формула расчета площади неправильного многоугольника

Если точки пронумерованы последовательно в направлении против часовой стрелки, то детерминанты в формуле выше положительны и модуль в ней может быть опущен; если они пронумерованы в направлении по часовой стрелке, детерминанты будут отрицательными. Это происходит потому, что формула может рассматриваться как частный случай теоремы Грина. Для применения формулы необходимо знать координаты вершин многоугольника в декартовой плоскости.

Для примера возьмём треугольник с координатами {(2, 1), (4, 5), (7, 8)}. Возьмём первую х -координату первой вершины и умножим её на y -координату второй вершины, а затем умножим х второй вершины на y третьей. Повторим эту процедуру для всех вершин. Результат может быть определен по следующей формуле: A tri.

Формула расчета площади неправильного четырехугольника

A} _{\text{tri.}}={1 \over 2}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{1}y_{3}|} где xi и yi обозначают соответствующую координату. Эту формулу можно получить, раскрыв скобки в общей формуле для случая n = 3. По этой формуле можно обнаружить, что площадь треугольника равна половине суммы 10 + 32 + 7 − 4 − 35 − 16, что даёт 3. Число переменных в формуле зависит от числа сторон многоугольника. Например, в формуле для площади пятиугольника будут использоваться переменные до x5 и y5: A pent. = 1 2 | x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 5 + x 5 y 1 − x 2 y 1 − x 3 y 2 − x 4 y 3 − x 5 y 4 − x 1 y 5 | {\displaystyle \mathbf {A} _{\text{pent.}}={1 \over 2}|x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{4}+x_{4}y_{5}+x_{5}y_{1}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{4}y_{3}-x_{5}y_{4}-x_{1}y_{5}|} A для четырехугольника — переменные до x4 и y4: A quad.

Тема «Площади многоугольников» является неотъемлемой частью школьного курса математики, что вполне естественно. Ведь исторически само возникновение геометрии связано с потребностью сравнения земельных участков той или иной формы. Вместе с тем следует отметить, что образовательные возможности раскрытия этой темы в средней школе используются далеко не полностью.

Основная задача обучения математике в школе заключается в обеспечении прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования.

Наряду с решением основной задачи углубленное изучение математики предусматривает формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие их математических способностей, ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой, подготовку к обучению в вузе.

Квалификационная работа включает содержание курса математики общеобразовательной школы и ряд дополнительных вопросов, непосредственно примыкающих к этому курсу и углубляющих его по основным идейным линиям.

Включение дополнительных вопросов преследует две взаимосвязанные цели. С одной стороны, это создание в совокупности с основными разделами курса базы для удовлетворения интересов и развития способностей учащихся, имеющих склонность к математике, с другой – выполнение содержательных пробелов основного курса, придающее содержанию углубленного изучения необходимую целостность.

Квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и цитируемой литературы. В первой главе рассматриваются теоретические основы изучения площадей многоугольников, а во второй главе – непосредственно уже методические особенности изучения площадей.

1.1Вычисление площадей в древности

Зачатки геометрических знаний, связанных с измерением площадей, теряются в глубине тысячелетий.

Еще в 4 – 5 тысяч лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Квадрат издавна служит эталоном при измерении площадей благодаря многим своим замечательным свойствам: равные стороны, равные и прямые углы, симметричность и общее совершенство формы. Квадраты легко строить, или можно заполнить плоскость без пробелов.

В древнем Китае мерой площади был прямоугольник. Когда каменщики определяли площадь прямоугольной стены дома, они перемножали высоту и ширину стены. Таково принятое в геометрии определение: площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. Обе эти стороны должны быть выражены в одних и тех же линейных единицах. Их произведение и составит площадь прямоугольника, выраженную в соответствующих квадратных единицах. Скажем, если высота и ширина стены измерены в дециметрах, то произведение обоих измерений будет выражено в квадратных дециметрах. И если площадь каждой облицовочной Плотки составляет квадратный дециметр, то полученное произведение укажет число плиток, нужное для облицовки. Это вытекает из утверждения, положенного в основу измерения площадей: площадь фигуры, составленной из непересекающихся фигур, равна сумме их площадей.

Древние египтяне 4000 лет назад пользовались почти теми же приемами, что и мы, для измерения площади прямоугольника, треугольника и трапеции: основание треугольника делилось пополам, и умножалась на высоту; для трапеции же сумма параллельных сторон делилась пополам и умножалась на высоту и т.п. Для вычисления площади

четырехугольника со сторонами (рис. 1.1) применялась формула (1.1)

т.е. умножались полусуммы противоположных сторон.

Эта формула явно неверна для любого четырехугольника, из нее вытекает, в частности, что площади всех ромбов одинаковы. Между тем, очевидно, что у таких ромбов площади зависят от величины углов при вершинах. Данная формула верна только для прямоугольника. С ее помощью можно вычислить приближенно площадь четырехугольников, у которых углы близки к прямым.

Для определения площади

равнобедренного треугольника (рис. 1.2), в котором , египтяне пользовались приближенной формулой:
(1.2) Рис. 1.2Совершаемая при этом ошибка тем меньше, чем меньше разность между стороной и высотой треугольника, иными словами, чем ближе вершина (и ) к основанию высоты из . Вот почему приближенная формула (1.2) применима лишь для треугольников с сравнительно малым углом при вершине.

Но уже древние греки умели правильно находить площади многоугольников. В своих «Началах» Евклид не употребляет слова «площадь», так как он под самим словом «фигура» понимает часть плоскости, ограниченную той или иной замкнутой линией. Евклид не выражает результат измерения площади числом, а сравнивает площади разных фигур между собой.

Как и другие ученые древности, Евклид занимается вопросами превращения одних фигур в другие, им равновеликие. Площадь составной фигуры не изменится, если ее части расположить по-другому, но без пересечения. Поэтому, например, можно, исходя из формул площади прямоугольника, находить формулы площадей других фигур. Так, треугольник разбивается на такие части, из которых затем можно составить равновеликий ему прямоугольник. Из этого построения следует, что площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Прибегая к подобной перекройке, находят, что площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, площадь трапеции – произведению полусуммы оснований на высоту.

Когда каменщикам приходится облицовывать стену сложной конфигурации, они могут определить площадь стены, подсчитав число пошедших на облицовку плиток. Некоторые плитки, естественно, придется обкалывать, чтобы края облицовки совпали с кромкой стены. Число всех пошедших в работу плиток оценивает площадь стены с избытком, число необломанных плиток – с недостатком. С уменьшением размеров клеток количество отходов уменьшается, и площадь стены, определяемая через число плиток, вычисляется все точнее.

Одним из поздних греческих математиков – энциклопедистов, труды которого имели главным образом прикладной характер, был Герон Александрийский, живший в 1 в. н. э. Будучи выдающимся инженером, он был назван также «Герон Механик». В своем произведении «Диоптрика» Герон описывает разные машины и практические измерительные инструменты.

Одна из книг Герона была названа им «Геометрика» и является своего рода сборником формул и соответствующих задач. Она содержит примеры на вычисление площадей квадратов, прямоугольников и треугольников. О нахождении площади треугольника по его сторонам Герон пишет: « Пусть, например, одна сторона треугольника имеет в длину 13 мерных шнуров, вторая 14 и третья 15. Чтобы найти площадь, поступают вот как. Сложи 13, 14 и 15; получится 42. Половина этого будет 21. Вычти из этого три стороны одну за другой; сперва вычти 13 – останется 8, затем 14 – останется 7 и, наконец, 15 – останется 6. А теперь перемножь их: 21раз по 8 даст 168, возьми это 7 раз – получится 1176, а это еще 6 раз – получится 7056. Отсюда квадратный корень будет 84. Вот сколько мерных шнуров будет в площади треугольника».

Площадь параллелограмма, треугольника и трапеции — урок. Геометрия, 8 класс.

Площадь параллелограмма

Необходимо определить, что такое высота параллелограмма.

Это перпендикуляр, проведённый из любой точки стороны параллелограмма к прямой, содержащей противоположную параллельную сторону. Обычно высоту проводят из вершины параллелограмма. Так как параллелограмм имеет две пары параллельных сторон, то он имеет высоты двух различных длин.

Высота \(BE\), проведённая между длинными сторонами, короче высоты \(BF\), проведённой между короткими сторонами.

Так как стороны ромба одинаковы, то высоты ромба также одинаковы: \(BE = BF\).

Площадь произвольного параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению высоты и стороны, к которой проведена высота.

Проведём высоты из двух вершин \(B\) и \(C\) к стороне \(AD\) .

Прямоугольные треугольники \(ABE\) и \(DCF\) равны (равные гипотенузы как противоположные стороны параллелограмма и равные катеты как расстояние между параллельными прямыми).

Параллелограмм \(ABCD\) и прямоугольник \(EBCF\) — равновеликие, так как состоят из равных фигур:

SABCD=SABE&plus;SEBCD;SEBCF=SEBCD&plus;SDCF.

Значит, площадь параллелограмма определяется так же, как площадь прямоугольника:

SEBCF=BE⋅BC;SABCD=BE⋅BC=BE⋅AD.

Если обозначить сторону через \(a\), высоту — через \(h\), то:

Sп−гр=a⋅h.

Для определения площади параллелограмма можно использовать короткую сторону и высоту, проведённую к короткой стороне.

Площадь ромба

Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам, они перпендикулярны и делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.

SABCD=4⋅SABO=4⋅BO⋅AO2=2⋅BO⋅AO.

Формула определения площади ромба:

Sромба=d1⋅d22.

Эта формула справедлива для определения площади любого четырёхугольника, если его диагонали перпендикулярны.

Так как диагонали квадрата равны, то для определения площади квадрата в формуле достаточно длины одной диагонали:

Sквадрата=d22.

Площадь произвольного треугольника

Так как диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, то площадь треугольника равна половине площади параллелограмма.

Sтреуг=aha2, где \(h\) — высота (на рисунке — \(BE\)), проведённая к стороне \(a\) (на рисунке — \(AD\)).

Для определения площади треугольника можно использовать любую сторону и высоту, проведённую к этой стороне.

Удобно иногда использовать формулу Герона, если известны длины всех трёх сторон треугольника.

SΔ=pp−ap−bp−c;p=a&plus;b&plus;c2

— формула Герона, где \(a\), \(b\) и \(c\) — стороны треугольника, \(p\) — полупериметр треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника

Так как катеты прямоугольного треугольника взаимно перпендикулярны, то один катет может быть высотой, а другой катет — стороной, к которой проведена высота. Получаем формулу:

S=a⋅b2, где \(a\) и \(b\) — катеты.

Для прямоугольного треугольника также можно применять формулы площади произвольного треугольника.

Пример:

1. вычислим площадь треугольника со сторонами \(17\) см, \(39\) см, \(44\) см.

Решение:

p=17&plus;39&plus;442=50;SΔ=50⋅50−17⋅50−39⋅50−44=50⋅33⋅11⋅6==25⋅2⋅3⋅11⋅11⋅2⋅3=5⋅2⋅3⋅11=330см2.

Чтобы легче было вычислить корень, необходимо не перемножать все числа, а раскладывать их на множители: a⋅a=a.

Формулу Герона можно использовать для вычисления высоты треугольника.

Пример:

2. вычислим меньшую высоту треугольника, стороны которого равны \(15\) см, \(13\) см, \(4\) см.

Решение:

используем две формулы вычисления площади:  SΔ=aha2 и SΔ=pp−ap−bp−c.

Меньшая высота в треугольнике — та, которая проведена к большей стороне, поэтому \(a =\) \(15\) см.

SΔ=pp−ap−bp−c=16⋅1⋅3⋅12=24см2.

Составляем уравнение:

15⋅h3=24⋅215⋅h=48;h=4815=3,2(см).

Иногда формула Герона используется для вычисления площади параллелограмма, если даны стороны параллелограмма и его диагональ.

Пример:

3. дан параллелограмм со сторонами \(17\) см и \(39\) см, длина диагонали равна \(44\) см. Вычислим площадь параллелограмма.  

Решение:

диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. Используем результат, полученный в первом примере:

Sпараллелограмма=2⋅SΔ=2⋅330=660(см2).

Площадь трапеции

Трапеция имеет одну пару параллельных сторон, следовательно, имеет одну высоту — перпендикуляр, проведённый между параллельными сторонами.

Чаще всего высоту трапеции проводят из вершин или через точку пересечения диагоналей.

Площадь трапеции определим как сумму площадей треугольников, на которые трапецию делит диагональ.
 

SABCD=SABD&plus;SDBC;SABCD=AD⋅BE2&plus;BC⋅DF2=AD⋅BE2&plus;BC⋅BE2==AD&plus;BC⋅BE2.

Если обозначить параллельные стороны (основания) трапеции через \(a\) и \(b\), высоту через \(h\), то:

Sтрап=a&plus;b2⋅h.

Обрати внимание!

Важные следствия:

1. если высоты треугольников равны, то их площади относятся как длины оснований.

2. Если основания треугольников равны, то их площади относятся как длины высот.

3. Если высоты треугольников равны и их основания равны, то они равновелики, например, медиана делит треугольник на две равновеликие части.

Площадь треугольника

Ниже приведены формулы нахождения площади произвольного треугольника которые подойдут для нахождения площади любого треугольника, независимо от его свойств, углов или размеров. Формулы представлены в виде картинки, здесь же приведены пояснения по применению или обоснованию их правильности. Также на отдельном рисунке указаны соответствия буквенных обозначений в формулах и графических обозначений на чертеже.

Примечание. Если же треугольник обладает особыми свойствами (равнобедренный, прямоугольный, равносторонний), можно использовать формулы, приведенные ниже, а также дополнительно специальные, верные только для треугольников с данными свойствами, формулы: 

Формулы площади треугольника

Пояснения к формулам:
a, b, c — длины сторон треугольника, площадь которого мы хотим найти
r — радиус вписанной в треугольник окружности
R — радиус описанной вокруг треугольника окружности
h — высота треугольника, опущенная на сторону
p — полупериметр треугольника, 1/2 суммы его сторон (периметра)
α — угол, противолежащий стороне a треугольника
β — угол, противолежащий стороне b треугольника
γ — угол, противолежащий стороне c треугольника
h_a, h_b, h_c — высота треугольника, опущенная на сторону a, b, c

Обратите внимание, что приведенные обозначения соответствуют рисунку, который находится выше, чтобы при решении реальной задачи по геометрии Вам визуально было легче подставить в нужные места формулы правильные значения.

• Площадь треугольника равна половине произведения высоты треугольника на длину стороны на которую эта высота опущена (Формула 1). Правильность этой формулы можно понять логически. Высота, опущенная на основание, разобьет произвольный треугольник на  два прямоугольных. Если достроить каждый из них до прямоугольника с размерами b и h, то, очевидно, площадь данных треугольников будет равна ровно половине площади прямоугольника (Sпр = bh)
• Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними (Формула 2 ) (см. пример решения задачи с использованием этой формулы ниже). Несмотря на то, что она кажется непохожей на предыдущую, она легко может быть в нее преобразована. Если из угла B опустить высоту на сторону b, окажется, что произведение стороны a на синус угла γ по свойствам синуса в прямоугольном треугольнике равно проведенной нами высоте треугольника, что и даст нам предыдущую формулу
• Площадь произвольного треугольника может быть найдена через произведение половины радиуса вписанной в него окружности на сумму длин всех его сторон (Формула 3), проще говоря, нужно полупериметр треугольника умножить на радиус вписанной окружности (так легче запомнить)
• Площадь произвольного треугольника можно найти, разделив произведение всех его сторон на 4 радиуса описанной вокруг него окружности (Формула 4)
• Формула 5 представляет собой нахождение площади треугольника через длины его сторон и его полупериметр (половину суммы всех его сторон)
• Формула Герона (6) — это представление той же самой формулы без использования понятия полупериметра, только через длины сторон
• Площадь произвольного треугольника равна произведению квадрата стороны треугольника на синусы прилежащих к этой стороне углов деленного на двойной синус противолежащего этой стороне угла (Формула 7)
• Площадь произвольного треугольника можно найти как произведение двух квадратов описанной вокруг него окружности на синусы каждого из его углов. (Формула 8)
• Если известна длина одной стороны и величины двух прилежащих к ней углов, то площадь треугольника может быть найдена как квадрат этой стороны, деленный на двойную сумму котангенсов этих углов (Формула 9)
• Если известна только длина каждой из высот треугольника (Формула 10), то площадь такого треугольника обратно пропорциональна длинам этих высот, как по Формуле Герона
• Формула 11 позволяет вычислить площадь треугольника по координатам его вершин, которые заданы в виде значений (x;y) для каждой из вершин. Обратите внимание, что получившееся значение необходимо взять по модулю, так как координаты отдельных (или даже всех) вершин могут находиться в области отрицательных значений

См. также площадь равнобедренного треугольника.

Примечание. Далее приведены примеры решения задач по геометрии на нахождение площади треугольника. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, похожей на которую здесь нет — пишите об этом в форуме. В решениях вместо символа «квадратный корень» может применяться функция sqrt(), в которой sqrt — символ квадратного корня, а в скобках указано подкоренное выражение. Иногда для простых подкоренных выражений может использоваться символ √

Задача. Найти площадь по двум сторонам и углу между ними

Стороны треугольника равны 5 и 6 см. Угол между ними составляет 60 градусов. Найдите площадь треугольника.

Решение.

Для решения этой задачи используем формулу номер два из теоретической части урока.

Площадь треугольника может быть найдена через длины двух сторон и синус угла межу ними и будет равна

S=1/2 ab sin γ

Поскольку все необходимые данные для решения (согласно формуле) у нас имеются, нам остается только подставить значения из условия задачи в формулу:

S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60   

В таблице значений тригонометрических функций найдем и подставим в выражение значение синуса 60 градусов. Он будет равен корню из трех на два. 

S = 15 √3 / 2

Ответ: 7,5 √3 (в зависимости от требований преподавателя, вероятно, можно оставить и 15 √3/2)

Задача. Найти площадь равностороннего треугольника

Найти площадь равностороннего треугольника со стороной 3см.

Решение.

Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:

S = 1/4 sqrt( ( a + b + c)(b + c — a)(a + c — b)(a + b -c) )

Поскольку a = b = c формула площади равностороннего треугольника примет вид:

S = √3 / 4 * a²

S = √3 / 4 * 3²

S = 9 √3 / 4

Ответ: 9 √3 / 4. 

Задача. Изменение площади при изменении длины сторон

Во сколько раз увеличится площадь треугольника, если стороны увеличить в 4 раза?

Решение.

Поскольку размеры сторон треугольника нам неизвестны, то для решения задачи будем считать, что длины сторон соответственно равны произвольным числам a, b, c. Тогда для того, чтобы ответить на вопрос задачи, найдем площадь данного треугольника, а потом найдем площадь треугольника, стороны которого в четыре раза больше. Соотношение площадей этих треугольников и даст нам ответ на задачу.

Далее приведем текстовое пояснение решения задачи по шагам. Однако, в самом конце, это же самое решение приведено в более удобном для восприятия графическом виде. Желающие могут сразу опуститься вниз решения.

Для решения используем формулу Герона (см. выше в теоретической части урока). Выглядит она следующим образом:

S = 1/4 sqrt( ( a + b + c)(b + c — a)(a + c — b)(a + b -c) ) 
(см. первую строку рисунка внизу)

Длины сторон произвольного треугольника заданы переменными a, b, c.

Если стороны увеличить в 4 раза, то площадь нового треугольника с составит:

S₂ = 1/4 sqrt( ( 4a + 4b + 4c)(4b + 4c — 4a)(4a + 4c — 4b)(4a + 4b -4c) )
(см. вторую строку на рисунке внизу)

Как видно, 4 — общий множитель, который можно вынести за скобки из всех четырех выражений по общим правилам математики.

Тогда

S₂ = 1/4 sqrt( 4 * 4 * 4 * 4 ( a + b + c)(b + c — a)(a + c — b)(a + b -c) ) — на третьей строке рисунка

S₂ = 1/4 sqrt( 256 ( a + b + c)(b + c — a)(a + c — b)(a + b -c) ) — четвертая строка

Из числа 256 прекрасно извлекается квадратный корень, поэтому вынесем его из-под корня    

S₂ = 16 * 1/4 sqrt( ( a + b + c)(b + c — a)(a + c — b)(a + b -c) )

S₂ = 4 sqrt( ( a + b + c)(b + c — a)(a + c — b)(a + b -c) )
(см. пятую строку рисунка внизу)

Чтобы ответить на вопрос, заданный в задаче, нам достаточно разделить площадь получившегося треугольника, на площадь первоначального.

Определим соотношения площадей, разделив выражения друг на друга и сократив получившуюся дробь.

S₂ / S = 16
(см. внизу подробнее запись в виде дроби и ее сокращения — в последней строке)

На рисунке логика вычисления решения, описанного выше, приведена уже в виде формул (одна за другой)

Ответ: Площадь треугольника увеличится в 16 раз

 Сумма углов треугольника |

Описание курса

| Медиана треугольника 

Математика – 5 класс. Площадь геометрической фигуры

Дата публикации: 08 апреля 2017.

Определение и понятие площади фигуры

Чтобы лучше понять, что такое площадь фигуры, рассмотрим рисунок.
Эта произвольная фигура разбита на 12 маленьких квадратика. Сторона каждого квадратика равна 1 см. А площадь каждого квадратика равна 1 квадратному сантиметру, что записывается так:
1 см².

Тогда площадь фигуры равна 12 квадратным сантиметрам. В математике площадь обозначается латинской буквой S.
Значит, площадь нашей фигуры равна: S _фигуры= 12 см².

Площадь фигуры равна площади всех маленьких квадратиков, из которых она состоит!

Ребята, запомните!
Площадь измеряется квадратными единицами длины.
Единицы измерения площади:
1. Квадратный километр – км² (когда площади очень большие, например, страна или море).
2. Квадратный метр – м² (вполне подходит для того, чтобы измерять площадь участка или квартиры).
3. Квадратный сантиметр – см² (обычно используется на уроках математики, когда рисуют фигуры в тетради).
4. Квадратный миллиметр – мм².

Площадь треугольника

Рассмотрим два вида треугольников: прямоугольный и произвольный.

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника необходимо знать длину основания и высоту. В прямоугольном треугольнике высоту заменяет одна из сторон. Поэтому в формулу площади треугольника вместо высоты подставляем одну из сторон.

В нашем примере стороны равны 7 см и 4 см.
Формула для расчета площади треугольника записывается так:
S _{прямоугольного треугольника АВС} = ВС * СА : 2

Подставим в формулу наши данные и получим:
S _{прямоугольного треугольника АВС} = 7 см * 4 см : 2 = 14 см²

Теперь рассмотрим произвольный треугольник.

Для такого треугольника необходимо провести высоту к основанию.
В нашем примере высота равна 6 см, а основание равно 8 см. Как и в предыдущем примере, рассчитываем площадь по формуле:

S _{произвольного треугольника АВС} = ВС * h : 2.

Подставим в формулу наши данные и получим:
S _{произвольного треугольника АВС} = 8 см * 6 см : 2 = 24 см².

Площадь прямоугольника и квадрата

Возьмем прямоугольник АВСD со сторонами 5 см и 8 см.

Формула расчета площади прямоугольника записывается так:
S_{прямоугольника АВСD} = АВ * ВС.

Подставим в формулу наши данные и получим:

S прямоугольника АВСD = 8 см * 5 см = 40 см².

Теперь рассчитаем площадь квадрата. В отличии от прямоугольника и треугольника, для нахождения площади квадрата необходимо знать только одну сторону. В нашем примере сторона квадрата ABCD равна 9 см.
S_{квадрата АВСD} = АВ * ВС = АВ ².

Подставим в формулу наши данные и получим:

S_{квадрата АВСD} = 9 см * 9 см = 81 см².

Фрагмент урока. Нахождение площади произвольного треугольника. | План-конспект урока по математике (4 класс):

Фрагмент урока

Тема. Нахождение площади произвольного треугольника: равнобедренного, равностороннего, разностороннего (4 класс. Система Эльконина-Давыдова).

Цель. Найти и зафиксировать способ определения площади непрямоугольного треугольника.

Ход урока

1. Создание ситуации успеха.

(На доске вывешены все планы урока, составленные детьми, листы для групповой работы, на одном из которых начерчен равнобедренный треугольник, на другом – равносторонний, на третьем – разносторонний, маркеры (по количеству групп)).

— Сегодняшний урок пройдёт по составленному вами плану.  Чему будет посвящён урок? (Площади).

-Какие вопросы вы можете задать друг другу по этой теме?

1. Что такое площадь?

2. Чем площадь отличается от периметра?

3. Бывают ли фигуры, у которых нет площади? Какие это фигуры?

4. Есть ли такие фигуры, у которых есть периметр, но нет площади, и наоборот?

5. Как найти площадь прямоугольника?

6. Как найти площадь прямоугольного треугольника?

На доске запись:

1) х = а х в              3) х = а х в : 2

2) х = 2а + 2в          4) х = 18 : 3

— Определите, чем является х  в каждом случае. Не записывая формулу, поставьте её номер, схематично изобразите фигуру и обозначьте то, что в ней находят, то есть искомую величину.

Далее проводится фронтальная проверка выполнения задания.

Формула 1. В данном случае Х – это площадь прямоугольника.

Формула 2. Х – это периметр прямоугольника. Ещё это может быть периметр параллелограмма и ромбоида.

Формула 3. Х – В данном случае находят площадь прямоугольного треугольника.

Формула 4. Х – это сторона равностороннего  треугольника, потому что мы периметр делим на 3 одинаковые части, а это возможно только у равностороннего треугольника. Ещё х может быть одной из сторон прямоугольника, если 18 – это площадь, а 3 – другая сторона.

— Начертите у себя в тетради одну фигуру, запишите формулу и вычислите её площадь. (Взаимопроверка).

Учитель обращается поочерёдно к нескольким детям с вопросом: «По какой формуле ты находил(ла) площадь своей фигуры?

После того как ребёнок прочитывает  формулу, дети определяют, какая фигура начерчена у него в тетради.

2. Постановка и решение частной задачи

— Переходим к следующему пункту нашего плана. Нужно выбрать фигуру, площадь которой мы будем сегодня находить. Начнём с треугольника.

— Какие вы знаете треугольники?  (Равнобедренный, равносторонний, разносторонний).

— Будем работать отдельно с каждым или сразу со всеми, поскольку они треугольники. (Со всеми сразу).

— Как будем работать? (В группах).

По просьбе учителя дети собираются в три группы. Учитель даёт первой группе большой лист с начерченным равнобедренным треугольником; второй группе – лист с начерченным равносторонним треугольником; третьей группе – лист с начерченным разносторонним треугольником.

— Что будем искать?  (Площадь треугольника). 

— Что вам в этом поможет? (Прямоугольник и прямоугольный треугольник).

— Найдите рациональный способ и зафиксируйте его в удобной форме.

Обсуждение результатов работы групп.

Результаты работы групп выглядели таким образом:

1 группа                            2 группа                               3 группа

S = S(1) +S(2)                S=  S(1) + S(2)                S = S(1) +S(2)    

— Что вы можете сказать о способах, найденных группами? (Это один и тот же способ).

— В чём он заключается?  Внутри треугольника нужно провести отрезок так, чтобы треугольник превратился в два прямоугольных треугольника.   Нужно найти сначала площадь 1 прямоугольника, затем второго и эти площади сложить.

Хорошо, если дети увидят ещё один способ нахождения площади непрямоугольного треугольника. Суть этого способа заключается в следующем:

        S = а х в : 2

а

           в

— В таком случае следует обсудить, какой из способов рациональнее.

— Как могло получиться, что для нахождения площади разных треугольников вы использовали один и тот же способ?

— Этот отрезок, выходящий из вершины угла и опускающийся на противоположную сторону под прямым углом, называется высотой. Высота обозначается буквой h. Запишите это в тетрадь.

— У вас появилась замечательная мысль относительно нахождения площади других фигур. Хотите её проверить?

Учитель открывает запись на доске:

— Ну, что, есть варианты?

Дети по одному выходят к доске и предлагают свои варианты. В результате обсуждения запись на доске приобретает такой вид:

3. Итоговая рефлексия

— Урок подходит к концу. Что ещё осталось в нашем плане?

-Нужно записать способы формулами. Ещё нужно выяснить, может быть, другие способы есть. Нужно научиться пользоваться способами.

— Какую цель мы поставили на прошлом уроке?

— Как бы вы назвали наш урок?

— Нашли способ?

— В чём он заключается?

Amazon.com: Турецкий коврик Ambesonne Cubes, формы, напоминающие коробки, выровненные в симметрии четырехугольного ромба, мягкий ковер для декора гостиной с потрепанным видом, 4 ‘X 5,7’, пастельно-желтый и бледно-коричневый: Home & Kitchen

Размер: 4 ‘X 5,7’

|

Цвет: Пастельно-желтый и бледно-коричневый

Защитите свои полы с помощью нашего самого мягкого коврика. Превратите обычную комнату в шедевр декора с помощью этих недорогих и элегантных ковров.Идеально подходит для таких помещений, как столовая и гостиная, коридоры, спальни. Прочная и долговечная основа ковра сделана из оригинального джута. Высокое качество, отличный дизайн и непревзойденное мастерство, которое обеспечивает наш коврик, выведут ваше украшение на новый уровень. Чернила, которые мы используем, экологически чистые и чрезвычайно устойчивы к обесцвечиванию. В нашем процессе умирания вода не участвует, поэтому воздействие на окружающую среду значительно снижается. Чернила имеют сертификат Oeko-Tex, поэтому они безопасны для всех в вашей семье, включая ваших домашних животных.Наши высококачественные ковры с превосходным дизайном и непревзойденным мастерством обеспечивают мягкое и удобное прикосновение, которого вы заслуживаете. Ковер соткан из 600 000 петельных ворсов. Вот почему наш ковер максимально приближен к коврам ручной работы. Еще одна особенность этого ковра в том, что цвета под разными углами предстают разными оттенками. Так что каждый раз, когда вы меняете положение ковра, вас будут ждать новые впечатления. Внесите разницу и измените внешний вид комнат в вашем доме, офисе.Наши уникальные дизайны хорошо сочетаются с различными цветовыми палитрами ваших штор, стен, мебели и всех других аксессуаров декора. Подходит в качестве украшения любой комнаты и идеальный теплый подарок для мамы, папы, сестры, брата, бабушки, жены, мужа и всех других любимых. Рекомендуемая очистка: Регулярно очищайте пылесосом. Вы можете уверенно использовать шампунь для чистки ковров с нашими ковриками. Изделие нужно просушить как можно скорее и равномерно. Цифровые изображения, которые мы отображаем, имеют максимально точную цветопередачу, однако из-за различий в компьютерных мониторах мы не можем нести ответственности за различия в цвете между фактическим продуктом и вашим экраном.Из-за ручного измерения допускается погрешность в 1-2 см.

УДАР! из устаревших представлений о рабочем месте

Сбой.

В наши дни это слово стало модным. Об этом говорят журналисты, руководители и этот чрезмерно активный коллега по LinkedIn. Говорят, что Uber нарушил транзит. Этот AirBnb разрушил гостиничный сектор. Netflix подорвал индустрию развлечений.

Гиперболический или нет, но в каждом из этих случаев существует единственный поворотный момент — фактор разрушения и изменения.

Но на рабочем месте не было ни одного момента. Вместо этого мобильные технологии и новые методы ведения бизнеса создали множество моментов. Результат совсем другой. Технологии и люди меняются быстрее, чем мебель или строительная инфраструктура.

В ответ мы видим разносторонние и меняющиеся рабочие места. Офисы, где люди обладают большей гибкостью и меньшей структурой. Студии, в которых людям не обязательно работать за своими рабочими столами. Во многих случаях люди приносят работу домой.Это по-разному повлияло на разные отрасли и разные фирмы. Не существует формулы, как реагировать на эти изменения, но важно ее понять и принять во внимание.

Наша недавняя инсталляция в IIDEX исследовала эти изменения. Частично искусство и частично функциональный салон, GOAWAY! был признан IIDEX лучшим на рабочем месте. На полу выставочного зала площадью 2000 квадратных футов мы скрыли его содержимое снаружи. Наша цель состояла в том, чтобы вызвать то же чувство неизвестности, с которым сталкивается рабочее место.

Оказавшись внутри, гости увидят четыре разных «биома», представляющих разные места, где мы работаем — традиционные рабочие места, природу, кафе и общественные места. Каждый из этих биомов имел свой внешний вид и запах. Мы хотели убрать гостей с этажа выставочного зала. Чтобы задействовать все их чувства и привести их в эту среду.

В каждом биоме была небольшая рабочая зона, обставленная мебелью от ведущих дизайнеров отрасли. Затем каждые несколько часов мы меняли мебель на совершенно новый гарнитур.УХОДИТЕ! развивался и изменялся в ходе IIDEX, но всегда оставался функциональным пространством.

Мы работали с крупными поставщиками отрасли, чтобы изучить эту тему. Teknion, Haworth, Keilhauer Steelcase, Framery и Vitra внесли свой вклад в установку. Мы подобрали мебель, чтобы отразить эволюцию рабочего пространства. Мы показали, что использование солнечной энергии может создавать хорошо освещенные рабочие места на открытом воздухе с помощью набора Emu Ivy от Steelcase. Серия Teknion’s Fractals, Haworth’s Opennest Plume и Keilhauer’s Talk продемонстрировала, как сиденья с высокой спинкой могут создать уединение даже на открытых пространствах.Steelcase Brody, Vitra NesTable и Haworth’s Harbour Worklounge бросили вызов предвзятым представлениям о том, как должен выглядеть стол.

Центральным элементом, и единственным, что не изменилось, был стенд Framery от Drechsel Business Interiors. Он послужил якорем для установки и обобщением нашего тезиса: что решения новых проблем рабочего пространства скрыты у всех на виду. Умный дизайн создает красивые предметы, которые предлагают гибкость и универсальность для современного офиса или студии.Стул с балдахином может создать личное пространство для работы. Стол можно осветить силой солнца. Звукоизолированная, удобная кабина может избавить от необходимости строительства частной переговорной.

Эта мебель универсальна. Они многофункциональны. И они отлично выглядят. Когда мы проектируем современные офисы, мы предлагаем именно такие продукты, чтобы повысить эффективность и комфорт сотрудников. Наша команда поставила ГОУАЙ! чтобы показать, что эти решения существуют. Есть ответы на проблемы нарушенного рабочего места.

GOAWAY! подчеркнули одну центральную истину: никто не знает, каким будет будущее рабочего места.

Но это будет везде.

Выражаем особую благодарность сотрудникам Quadrangle, которые помогли с установкой: Андреа Холл, Кэролайн Робби, Дэну Селджаку, Диане Смициклас, Джорджу Фуссиасу, Джули Мрочковски, Лане Иванчук, Марии Крыницки, Нариману Мусави, Робу Шостаку, Саре Чой, Терри Флинн. , Тор Макглейд, Вера Гисарова и Уилл Маренко.

Мебель: Framery, Haworth, Keilhauer, Steelcase, Teknion, Vitra

На стенах и на вынос: Джеймс Манро, Эстли Гилберт

Звук: Дэвид Бакман, Bellosound

Запах: Трейси Пепе, Nose Knows

Волонтеры: Школа дизайна интерьера Райерсона — Райерсон.ca / интерьер

Фотография: Синди Блажевич — cindyblazevic.com или headforhire.ca

Освещение: Освещение

Ткань: Opuzen

CO Организатор встреч EPSC2020

Виртуальная реальность (VR, с гарнитурами) и дополненная реальность (AR, с использованием смартфона или планшета) в сочетании с 3D-фотограмметрическими реконструкциями все чаще используются в научных, образовательных и информационных целях.Эти методы не новы [e. грамм. 1, 2], но они получают все большее распространение благодаря выпуску в 2016 году технологически зрелых и экономичных аппаратных решений, доступных широкой публике. В области планетологии VR и AR теоретически позволяют моделировать поездки в удаленные места, которые в противном случае недоступны для людей. Используя изображения с высоким разрешением в сочетании со спектральными или морфологическими данными, собранными роботами-исследователями (орбитальными аппаратами, спускаемыми аппаратами, марсоходами), мы можем создавать интегрированные виртуальные среды, которые точно представляют поверхность планетных тел и позволяют проводить перекрестное сравнение различных наборов данных.Эти виртуальные среды предоставляют возможность перемещаться в глобальном масштабе с использованием орбитальных данных и спускаться на поверхность, когда данные на месте доступны для визуализации и анализа местных обнажений. Это особенно касается Луны и Марса, где доступны как обширные удаленные, так и наземные данные [3, 4, 5].

Мы изучаем возможности комплексного объединения информации из различных источников для отображения, обработки, анализа и обмена как аналитическими данными, так и результатами.Например, мы интегрировали видимые изображения с высоким разрешением, цифровые модели высот и обнажений, геоморфологические карты и составные карты, полученные на основе спектроскопических измерений на нескольких испытательных площадках, таких как кратер Коперника и место посадки Аполлона 17 на Луне, кратер Кроммелин и район Кимберли. (Кратер Гейла) на Марсе и область четырехугольника Хокусая на Меркурии. Визуализация VR и / или AR простых орбитальных и / или наземных 3D-моделей может выполняться с использованием веб-решения, такого как Sketchfab (например, Sketchfab).грамм. https://sketchfab.com/LPG-3D или https://sketchfab.com/planmap.eu), предлагая возможность визуализировать, взаимодействовать и делиться трехмерными версиями этих многомасштабных данных со средним разрешением (Рис. 1a и 1b). Использование более мощного и универсального решения на основе игрового движка [6] позволяет разрабатывать более сложные решения, например специализированные инструменты измерения (рис. 1c) или многоуровневые возможности (рис. 1d). Эти подходы предлагают новые возможности с точки зрения исследования данных, анализа и приложений для исследований и образования во время «виртуальных планетарных экскурсий».

Благодарности: Этот проект получил финансирование в рамках программы исследований и инноваций Европейского Союза Horizon 2020 в рамках грантового соглашения № 776276 (PLANMAP).

Ссылки:

[1] МакГриви (1993), М.В. Виртуальная реальность и исследование планет. В виртуальной реальности; Эльзевир: Амстердам, Нидерланды; С. 163–197, ISBN 0-12-745045-9.

[2] Favalli, M. et al. (2012), Многоканальная трехмерная реконструкция в науках о Земле.Comput. Geosci. 2012, 44, 168–176.

[3] Ostwald, A .; Уртадо, Дж. 3D-модели из фотограмметрии структуры из движения с использованием изображений MSL: методы и последствия. В Proc. 48-й сессии LPSC, Вудлендс, Техас, США, 2017. Вклад LPI № 1964, id.1787.

[4] Caravaca, G. et al. (2020) Planet Space Sci, 182, 104808, DOI: 10.1016 / j.pss.2019.104808

[5] Le Mouélic, S. et al. (2020) Remote Sensing, 12 (11), DOI: 10.3390 / rs12111900

[6] Nesbit, P.R et al.(2020), GSA Today, т. 30, 4–10. DOI: 10.1130 / GSATG425A.1

больших конференц-залов / банкетных залов — CSB / SJU

В Сент-Джонсе есть множество помещений, которые идеально подходят для встреч, семинаров, лекций, встреч, ужинов и свадеб. Каждая комната имеет индивидуальный стиль и качество, которое может украсить любое мероприятие. Ниже приведено руководство по месту проведения.

Четырехугольник

Расположенный в самом сердце кампуса Сент-Джонс и построенный в 1868 году, Четырехугольник (обычно называемый Квадратом) может похвастаться историческим и элегантным интерьером из кирпича и дерева, но при этом предоставляет все условия для проживания по последнему слову техники. строительство.Quad предлагает несколько больших конференц-залов, а также множество небольших классных комнат для групповых занятий.

Founders Room (Quad 170)

• Лекционная вместимость 166 человек.
• Обед на 164 человека.
• Умная комната с полностью интегрированным аудио, видео и IT оборудованием (доступно для использования по запросу).
• Климат-контроль.

Centenary Room (Quad 264)

• Лекционная вместимость 150 человек.
• Обед на 120 человек.
• Умная комната с полностью интегрированным аудио, видео и IT оборудованием (доступно для использования по запросу).
• Климат-контроль.
• Паркетные полы.

Большой зал

• Концертная вместимость 300 человек.
• Обед на 280 человек.
• Климат-контроль.
• Место бывшей церкви аббатства, это место красиво украшено, включая сводчатые потолки, витражи и паркетные полы.

Секстон Коммонс

Удобно расположенный в центре кампуса с прилегающей парковкой, это потрясающее с архитектурной точки зрения здание является домом для столовой Sexton, Br. Паб Виллис и книжный магазин кампуса.

Столовая Sexton / Br. Виллис Паб

• Ужин на 200 человек (только столовая), 224 человека (с местами в пабе), 238 человек (с местами на танцполе).
• Климат-контроль.
• Хорошо освещенный, с окнами от пола до потолка, выходящими на тундру Святого Иоанна.
• Танцевальный пол из твердой древесины.
• Верхний мезонин с видом на паб.
• Встроенная акустическая система в столовой.Полные медиа-возможности в пабе.

Зал Гильдии

Формально известный как Старый тренажерный зал, Зал Гильдии — это универсальное пространство, которое предлагает широкий спектр возможностей: от спортивных мероприятий и отдыха в помещении до больших банкетов и свадебных приемов с танцами.

Зал гильдии

• Обед на 600 человек.
• Климат-контроль.
• Широкие возможности конфигурации.

Мичиганский университет Ист-Квад в Анн-Арборе

Страница 1 из 2

Переоборудование 73-летнего здания в современное жилье, столовую и учебное заведение привносит свежий подход к вспомогательной кухне и сервировке с микро-ресторанами, в которых особое внимание уделяется местной, свежей и красочной кухне.

С 1940 года общежитие East Quad в Мичиганском университете принимало многие тысячи студентов.В рамках масштабной реконструкции этого здания времен Второй мировой войны миссия команды проекта заключалась в создании оживленного, живого и обучающегося сообщества. «East Quad считается историческим зданием, имеющим важное значение для ткани и наследия университета, поэтому оно было определено как приоритетное место для реконструкции в рамках общеуниверситетского плана по улучшению жизни в студенческом городке», — говорит Кристин Сигель, старший научный сотрудник. директор Michigan Dining. Здание открылось в августе 2013 года.

«Самая большая миссия университета в этом проекте заключалась в том, чтобы прославить множество уникальных сообществ в здании, но при этом объединить их как единое сообщество», — говорит Джейн Кэди Райт, директор, президент и генеральный директор архитектурной и интерьерной фирмы проекта Hanbury Evans Wright. Vlattas + Co.

«Обеспечивая значительную прозрачность проекта в целом, демонстрируются различные функции здания и поощряется социальное взаимодействие», — говорит Мэтт Пирсон, директор, архитектор и дизайнер проекта Hanbury Evans Wright Vlattas + Co. целостность этого колледжа, который делает упор на искусство и обеспечивает жизненный компонент проживания. В дополнение к общежитиям и общепиту, в здании находятся художественные студии и театр. Кроме того, многие студенты, преподаватели и посетители говорят на разных языках, поэтому существует мультикультурный компонент, который пронизывает все здание.Это, в свою очередь, становится очевидным в дизайне заведения питания ».

«Привлечение естественного света внутрь здания было целью дизайна», — добавляет Пирсон. «В здании теперь есть открытые, залитые светом пространства, которые раньше оставались темными и неукрашенными, с видами на улицу. Области здания, которые когда-то избегались пользователями, теперь стали местами назначения».

Атриум здания является примером использования стекла, которое закрывает пространство, позволяя естественному свету проникать в то, что когда-то было темным.«Новый дизайн внешнего фасада, состоящий из большого количества стекла в обрамлении современного известняка, позволяет видеть старый каменный фасад интерьера со двора», — говорит Пирсон. «Социальная деятельность хорошо видна со многих точек зрения, а естественный свет с легкостью достигает нижнего уровня. Теплые тона деревянного потолка и художественной стены служат мягким буфером для кирпичной стены с обрамленными стальными проемами».

В рамках проекта также был проведен капитальный ремонт предприятия общественного питания.«Мы обновляем столовые по всему кампусу, чтобы обеспечить более современное меню и стиль обслуживания, а также повысить удовлетворенность студентов», — говорит Сигел. Капитальный ремонт общественного питания объединил два отдельных обеденных зала и линии раздачи в единую современную столовую, которая может легко поддерживать режимы обслуживания «все, что вам нужно», так и розничные. Он включает в себя производственную кухню на нижнем уровне, семь микро-ресторанов и кафе на главном уровне, две зоны отдыха, прилегающие к сервировочной, еще одну зону отдыха в частной столовой и еще одну в кафе.

«Столовая объединяет преподавателей, сотрудников и студентов в любое время дня», — говорит Пирсон. «Циркуляционные и обеденные входы были усовершенствованы и усилены, чтобы обеспечить видимую и физическую связь и рекламировать активность людей и приготовление свежих продуктов еще до того, как кто-то даже войдет в столовую. Потому что тема местных, свежих и красочных продуктов проходит через палитра материалов включает в себя древесные тона, яркие цветовые акценты в сочетании с мягкими приглушенными тонами и ультрасовременный дизайн освещения, поэтому архитектура может казаться такой же естественной и свежей, как еда.«

«Основной целью проекта было создание ресторана, поддерживающего экологически безопасные методы питания», — говорит Сигел. «Около половины студентов, которые здесь живут, являются членами Колледжа-интерната, и они хотят, чтобы мы поддерживали устойчивые методы, такие как отказ от подносов и участие в местных закупках. Мы также спроектировали объект, который позволит экономить энергию и воду и сокращать отходы. »

Учитывая возраст здания, команда дизайнеров столкнулась с огромными трудностями. «Первоначальный дизайн располагал кухню в центре столовой с двумя идентичными серверами, каждая из которых поддерживает столовую», — говорит консультант по общественному питанию Мона Милиус, вице-президент и старший директор Bakergroup Foodservice Design.В команду консультантов Милиуса также входили Джеймс Сукеник, президент, и Стефани Окчипинти, менеджер проекта. «В первом подразделении одна служба обслуживала завтрак, обед и ужин, а другая была открыта для обслуживания в ночное время.

«В обновленном здании и столовые, и частные столовые по-прежнему необходимы для удовлетворения спроса; частная обеденная зона и одна из столовых используются студентами, обедающими вместе за определенными языковыми столами, а другая — для студентов, не участвует в программе языковых столов, — продолжает Милиус.«Раньше студенты заходили в одну сторону здания для обслуживания, а затем переносили свои подносы за пределы столовой через общие зоны общежития в другую столовую. Задача заключалась в том, чтобы соединить обе столовые, чтобы студентам не приходилось покинуть столовую, чтобы получить доступ к столовым и соединить их с местом сдачи тарелки «.

Дизайнеры решили проблему, построив в каждой столовой зону приема посуды. Кроме того, кухня была перенесена на нижний уровень, под одну из столовых.»Найти лифт для доставки еды из кухни в микро-рестораны было непросто, потому что он должен был работать с приемом, хранением и производством кухни на нижнем уровне и подключаться к микро-ресторанам на уровне выше, при этом его не было видно. и мешает студентам обедать », — говорит Милиус.

Узкое пространство для обслуживания также создает проблемы с потоком. «Мы сбалансировали позиционирование различных ресторанов на основе их популярности, увеличили зоны обслуживания, чтобы повысить скорость обслуживания, и спланировали, чтобы клиенты могли ориентироваться в пространстве», — говорит Милиус.

Низкий потолок во всем пространстве и несколько этажей жилых холлов над сервировкой и кухней создали проблемы при установке и эксплуатации воздуховодов. «Все помещение было очень тесным; каждая концепция и обеденная зона были упражнением в дизайне сантиметров», — говорит Окчипинти.

«Мы работали с существующей структурой сетки столбцов, которая была довольно жесткой», — добавляет Пирсон. «Это потенциально может вызвать проблемы с циркуляционным потоком, расстановкой сидений и расположением оборудования для предприятий общественного питания.Вместо того чтобы смотреть на колонны как на препятствия, мы использовали их в своих интересах, включив их в архитектуру либо как элемент, либо там, где могут быть желательны естественные барьеры ».

Работа с низкими потолками и шумом от обслуживающего персонала также требовала внимания. «Мы добились этого, используя систему звукоизоляционных панелей на уровне потолка», — говорит Пирсон. «Перегородки представляют собой по существу вертикальные ребра, которые расположены на расстоянии 14 дюймов по центру, оставляя промежуточные пространства открытыми до верхнего потолка, таким образом делая потолки максимально высокими.Результатом стало большее звукопоглощение от кулинарии и бурной активности в раздаче, что позволило ощущать пространство как можно более высоким ».

Несмотря на все эти проблемы, творческий потенциал команды проекта расцвел.

Приемка и добыча нижнего уровня

Кухня перенесена на нижний уровень, под одну из столовых.

Товар поступает на приемный док, расположенный рядом с производственной кухней. Большая площадь позволяет осуществлять поставки от дистрибьюторов и местных фермеров.После того, как персонал регистрирует продукты, другие сотрудники транспортируют поддоны прямо через широкие коридоры в сушильные склады, а также в холодильники для овощей и мяса. Холодильные компрессоры расположены сверху охладителей.

Каждый день персонал моет и готовит большое количество овощей для ресторанов. «У нас есть четыре стола, предназначенных только для овощей, и два — для мяса, — говорит Фрэнк Турчан, шеф-повар Michigan Dining. «Около 80 процентов нашей продукции производится местными фермерами в конце лета и в начале осени.В середине зимы он падает до 40 процентов «. Приверженность местным и экологически безопасным фермам распространяется не только на производство. Все мясо поступает в радиусе 200 миль от кампуса или в пределах Мичигана, а морепродукты сертифицированы Морским попечительским советом.

«Мы подаем намного больше овощей и меньшие порции мяса, чем раньше», — добавляет Турчан.

Также в зонах приготовления сотрудники используют вертикальный миксер для измельчения хумуса с различными вкусами, включая кинзу, жареный чеснок и красный перец.Нарезчик нарезает хлеб, который сотрудники пекут на кухне нижнего этажа. Машина для производства мороженого производит не менее дюжины вкусов, таких как стандартные, такие как клубника, и забавные вкусы, такие как шоколадный чипотле и клубничный шоколадный чип. В розничном кафе наверху продают мороженое, которое становится все более популярным вариантом меню.

Горячая подготовка на этом уровне позволяет персоналу производить некоторые продукты в больших количествах. Персонал использует миксер для пюре и для фарша. Опрокидывающийся чайник готовит супы и соусы, а также макароны.Наклоняемая сковорода тушит и тушит свинину, жаркое и другое мясо, а также готовит макароны и сыр. Персонал также использует пароварку для приготовления таких блюд меню, как рис; диапазон с четырьмя горелками для обжаривания овощей, приготовления пикантных и сладких соусов и приготовления ризотто, которые готовятся наверху; а также пароконвектомат для приготовления мяса, хлеба и макаронных изделий, например, лазаньи. Двухъярусная конвекционная печь
предназначена для жарки курицы, свинины и овощей.

Помимо встроенных и автономных холодильников, шоковый охладитель помогает персоналу поддерживать строгие стандарты безопасности пищевых продуктов.«Беспроводные термометры отслеживают температуру холодильного оборудования, а портативные беспроводные термометры используются для отслеживания температуры пищевых продуктов на протяжении всего процесса их производства», — говорит Турчан.

Покажите, что диагонали трапеции делят ее на четыре треугольника, два из которых имеют одинаковую площадь? «Equi-extension»

Обычно трапеция определяется как четырехугольник с двумя параллельными сторонами. Равнобедренная трапеция — это особый случай трапеции, которая имеет боковую симметрию, что означает, что одна сторона будет зеркалом другой.

На изображении выше изображена равнобедренная трапеция, # «ABCD» #. Должно быть очевидно, что треугольники # «ABE» # и # «DCE» # имеют равные площади, поскольку они являются зеркальным отображением друг друга. Поэтому давайте сосредоточимся на попытке доказать, что эти два треугольника должны иметь одинаковую площадь для всех трапеций.

Площадь треугольника можно определить по тождеству:

#A = 1/2 (B xx H) #

Где # B # — основание треугольника, а # H # — высота. Треугольники # «ABE» # и # «DCE» # не имеют общих сторон, которые мы могли бы рассматривать как общую основу, однако треугольники # «ACD» # и # «DBA» # имеют общую сторону, основание трапеции. .

Если мы рассматриваем сторону # «AD» # как основание для обоих треугольников, то высота для обоих — это расстояние между линией # «AD» # и # «BC» #. Поскольку основание и высота у обоих треугольников равны, площадь обоих треугольников также должна быть одинаковой.

#A_ «ABD» = A_ «DCA» #

Теперь мы также можем видеть, что треугольник # «ABD» # состоит из треугольников # «ABE» # и # «AED» #. Кроме того, треугольник # «DCA» # состоит из треугольников # «DCE» # и # «AED» #.

#A_ «ABD» = A_ «ABE» + A_ «AED» #
#A_ «DCA» = A_ «DCE» + A_ «AED» #

Если мы вычтем площадь AED из ABD и DCA, мы увидим, что площади ABE и DCE действительно равны.

#A_ «ABD» = A_ «DCA» #
#A_ «ABE» + цвет (красный) отмена (цвет (черный) (A_ «AED»)) = A_ «DCE» + цвет (красный) отмена (цвет ( черный) (A_ «AED»)) #
#A_ «ABE» = A_ «DCE» #

Хотя я проиллюстрировал это доказательство с помощью равнобедренной трапеции, ни одна из работ не относилась конкретно к правильной трапеции. Следовательно, боковые треугольники любой трапеции можно показать равными, используя те же рассуждения.

История Медицинская школа Миллера

Бывший хирург школы Миллера выполняет первую пересадку органа на Гаити при содействии UM — 2009

Единственный хирург-трансплантолог Гаити и специалисты по трансплантологии из школы Миллера преподнесли бывшему министру здравоохранения Гаити необыкновенный подарок на день рождения — и тысячи диализных пациентов на острове — проблеск надежды — сделав популярного врача первым, кто получил трансплантацию твердых органов в его бедной семье. нация.

Институт геномики человека Майами переименован в Институт геномики человека Джона П. Хассмана — 2009

Институт геномики человека Майами переименован в честь филантропа Джона П. Хассмана.

Институт геномики человека Майами открывает будущее медицины в Южном кампусе — 2008

Школа Миллера открыла Институт геномики человека в Майами, который занимается выявлением генов, ведущих к распространенным заболеваниям, таким как аутизм, рассеянный склероз, болезнь Альцгеймера и Паркинсона.

Miller School запускает UHealth — систему здравоохранения Университета Майами — 2008

UM официально запустила систему здравоохранения Университета Майами, также известную как UHealth, всеобъемлющую сеть университетских медицинских организаций.

Школа Миллера создает Междисциплинарный институт стволовых клеток — 2008

Междисциплинарный институт стволовых клеток (ISCI) был основан в 2008 году с миссией продвижения клинических разработок регенеративной медицины путем объединения биологии стволовых клеток, доклинической науки и первых клинических испытаний на людях.

Паскаль Дж. Гольдшмидт, доктор медицины, назначенный деканом Медицинской школы Миллера — 2006 г.

Паскаль Дж. Гольдшмидт, доктор медицины, всемирно известный кардиолог и заведующий кафедрой медицины Медицинского центра Университета Дьюка, назначен деканом Медицинской школы Леонарда М. Миллера Университета Майами.

Университет Майами переименовал свою медицинскую школу — 2004

Медицинский факультет Университета Майами переименовывает Медицинский факультет Университета Майами в Медицинский факультет Леонарда М.Медицинская школа Миллера в честь покойного Леонарда Миллера, давнего бизнесмена и филантропа из Южной Флориды.

Капсула времени помещена в четырехугольник Шонингера, открытый к 50-летию — 2003

В честь 50-летия Медицинской школы Университета Майами и в ознаменование этого события исторически группа преподавателей, администраторов и сотрудников собрала важные предметы, отражающие 50-летнюю продолжительность жизни школы. Такие предметы, как стетоскоп Littman Cardiology III, форма оценки студентов медицинского факультета, график ротации резидента Медицинской школы Университета Майами, статистика естественного движения населения штата Флорида за 2001 год, значок на лацкан Ассоциации выпускников медицинской школы, футболка с деканским кубком, меню из ресторанов в районе Civic Center, официальный логотип 50-летия «Открытия, знания и исцеление», а также вымпел и плакат национального чемпиона по футболу Университета Майами. памятные вещи.

Окончательный отбор предметов был сделан консультативным комитетом под председательством Джеффри П. Броско, доктора медицины, доктора философии, в который входили Аник Брайан, доктор медицины, Энн Флипс, доктор медицины, Бернард Фогель, доктор медицины, Лоуренс Гарднер, доктор медицины, Норман. Кеньон, доктор медицины, Диана Лопес, доктор философии, Мануэль Пеналвер, доктор медицины, и Джессика Торренте, студентка-медик.

Четырехугольник Шонингера был выбран в качестве захоронения для капсулы времени. Закладка фундамента произошла в 2003 году.

Медицинская школа UM и программы, названные героями здравоохранения — 2003

10 апреля 2003 года врачи и программы медицинского факультета Университета Майами были удостоены награды Health Care Heroes Awards, представленной Торговой палатой Большого Майами.

Роберт Шварц, доктор медицины, председатель Департамента семейной медицины и общественного здоровья Школы Миллера, стал победителем в категории специалистов здравоохранения. Доктор Шварц создал образцовое партнерство в области здравоохранения с Медицинским центром Jackson Memorial, Общественным фондом здравоохранения и Советом сообщества Overtown, чтобы предоставить полный спектр медицинских услуг в Overtown в Центре здоровья Джефферсона Ривза-старшего.

Отделение педиатрической интенсивной терапии в детской больнице Хольца при Университете Майами / Мемориальном медицинском центре Джексона было удостоено награды Health Care Hero Award за учреждения или программы.

Томас К. Доэрти, уходящий на пенсию с поста директора Медицинского центра по делам ветеранов Майами, получил награду «За заслуги». Вирджиния Майами получила национальное признание благодаря нескольким программам, которые он проводит в партнерстве со школой Миллера, включая гериатрические исследования, лечение пациентов с ВИЧ / СПИДом, исследования травм спинного мозга и лечение наркозависимости.

Бернард А. Роос, доктор медицины, профессор гериатрической медицины и главный научный сотрудник еврейского дома и больницы для престарелых Майами, был назван финалистом в категории специалистов здравоохранения.

Научно-исследовательский институт диабета добивается успехов в трансплантации островковых клеток — 2002

В августе 2002 года ученые из Исследовательского института диабета успешно трансплантировали культивируемые островковые клетки девяти последовательным пациентам с диабетом и добились инсулино-инсулиновой независимости у всех девяти. Доказанная способность изолировать и поддерживать островки качества трансплантата в течение этого длительного периода времени означает, что пациенты с диабетом, которые не обязательно живут рядом с центрами изоляции островков, теперь имеют такие же хорошие шансы на трансплантацию инсулин-продуцирующих клеток, как и те, кто живет поблизости.

«С помощью этой процедуры мы смогли расширить временной интервал, в течение которого можно пересаживать островки, и упростить для пациентов доступ к специализированным центрам, где доступен этот тип процедуры», — объясняет Родольфо Алехандро, доктор медицины, профессор. доктор медицины в Медицинской школе Университета Майами и директор программы клинической трансплантации островков в Исследовательском институте диабета, где проводилось исследование. «Дополнительное время также позволяет нам лучше оценить клетки, которые мы трансплантируем, чтобы определить их выживаемость и активность, а также ввести предоперационные лекарства, которые мы должны дать пациентам, которым проводится трансплантация.»

Научно-исследовательский институт диабета — это комплексный научно-исследовательский институт, посвященный исключительно лечению диабета. Стремясь продвигать исследования по лечению людей, ныне живущих с диабетом, DRI фокусируется на безопасном переводе фундаментальных исследований в достижения для пациентов в кратчайшие сроки. Новаторская работа института в области трансплантации островковых клеток сделала его всемирно признанным лидером в области стратегий биологической замены и испытательным центром, который выбирают как промышленные партнеры, так и ученые, стремящиеся ускорить свои самые многообещающие открытия.

Открытие четырехугольника Schoninger Research — 2002

В феврале 2001 года Университет Майами получил в подарок более 5 миллионов долларов на поддержку биомедицинских исследований в Медицинской школе от Бернарда и Александрии Шонингер, давних жителей Бэл-Харбора, Флорида.

В знак признания щедрости Шонингеров Университет Майами назвал в их честь исследовательский четырехугольник, завершенный в феврале 2002 года. «Этот необыкновенный подарок Школе медицины создает центральное место для биомедицинских исследований в нашем растущем медицинском центре», — говорится в сообщении. Джон Г.Кларксон, доктор медицины, старший вице-президент по медицине и декан школы Миллера. «В то время как наши выдающиеся преподаватели продолжают успешно конкурировать за федеральные исследовательские фонды, всегда приятно, когда филантропически мыслящие люди инвестируют в наше исследовательское предприятие. Мы очень благодарны Шонингерам за щедрый подарок».

Помимо поддержки биомедицинских исследований, подарок также предусматривает создание Центра боли Шонингера при больнице и клиниках Университета Майами.Этот новый центр будет заниматься обезболиванием пациентов, страдающих от острой боли, связанной с заболеванием или травмой.

Новая учебная программа институтов медицинской школы — 2001

В 2001 году школа Миллера ввела новую медицинскую программу. Марк О’Коннелл, доктор медицинских наук, старший заместитель декана медицинского образования, описывает это своими словами:

«Новая учебная программа была разработана на основе трех руководящих принципов: объединить фундаментальные науки и клинические науки; двигаться к проблеме — основанное, самостоятельное, интерактивное обучение; и введение нового содержания в учебную программу, потому что роль врача в современной системе оказания медицинских услуг сильно отличается от той, что была 10-15 лет назад, и определенно отличается от 30-40 лет назад, когда были разработаны большинство традиционных медицинских учебных программ.

Стремясь к активному обучению взрослых, основанному на проблемах, мы разработали нашу учебную программу как гибрид методов и формата. Мы начинаем первый семестр с того, что мы называем «основными принципами». Это ряд кратких вводных курсов в биомедицинские науки. Затем мы начинаем 18-месячное комплексное исследование систем органов, в ходе которого мы изучаем патофизиологию клинических заболеваний. Этот сегмент учебной программы включает в себя много занятий в малых группах и меньший упор на лекции. Наконец, ближе к концу второго года мы переходим к традиционному проблемному режиму обучения.Студенты используют клинические примеры для постановки собственных учебных целей. Студенты должны выяснить, что им нужно знать, затем они идут, ищут и изучают сами. Они разбиты на группы по восемь студентов. Преподаватели участвуют в группах, но активно не преподают. Вместо этого они облегчают занятия и поддерживают процесс. Мы называем эту фазу новой учебной программы переходным блоком, поскольку она закрывает классную составляющую обучения студентов и сопровождается клиническими клерками в течение следующих двух лет.Это обучение, основанное на клинических проблемах, имитирует то, как врачи учатся всю оставшуюся жизнь ».

Донна Э. Шалала становится пятым президентом Университета Майами — 2001

Бывший министр здравоохранения и социальных служб США Донна Э. Шалала была назначена пятым президентом Университета Майами в июне 2001 года. Обладая выдающейся репутацией и более чем 25-летним опытом работы в качестве опытного ученого, преподавателя и администратора, президент Шалала был идеальным человеком для преемника Эдварда Т.Foote II, чтобы удовлетворить потребности медицинского факультета и вывести университет в новое тысячелетие.

Президент Шалала — профессор политологии, эпидемиологии, общественного здравоохранения и образования. До своего восьмилетнего пребывания в кабинете Клинтона президент Шалала была видным академиком. Она является ведущим ученым в области политической экономии органов государственного управления штата и местного самоуправления, а также занимала постоянные должности профессора в Колумбийском университете, Городском университете Нью-Йорка и Университете Висконсин-Мэдисон.Она занимала пост президента Хантер-колледжа CUNY с 1980 по 1987 год и ректора Университета Висконсин-Мэдисон с 1987 по 1993 год.

Посвященный Детскому научно-исследовательскому институту Бэтчелор — 2001

Детский научно-исследовательский институт Бэтчелора был открыт 3 мая 2001 года. Джордж Бэтчелор, пионер авиации и филантроп, сделал пожертвование руководству в размере 10 миллионов долларов на создание института, а затем пообещал выделить еще 5 миллионов долларов на церемонии открытия.Один из крупнейших центров в мире, посвященных исключительно исследованиям в области здоровья детей, Детский научно-исследовательский институт Бэтчелора включает 147 500 квадратных футов, предназначенных для фундаментальных и клинических исследований.

Медицинский факультет выразил глубокую благодарность, а также соболезнования семье Джорджа Бэтчелора в связи с его смертью в июле 2002 года. По оценкам, Бэтчелор пожертвовал 100 миллионов долларов благотворительным и общественным организациям Южной Флориды, в том числе 15 миллионов долларов на благотворительность. строительство Детского научно-исследовательского института Бэтчелор.

Лоуренс Гарднер, доктор медицины, назначен заместителем декана медицинского факультета — 2000

В 2000 году доктор медицины Лоуренс Б. Гарднер был назначен заместителем декана медицинского факультета, что стало первым подобным назначением в истории факультета. Доктор Гарднер получил степень бакалавра наук. окончил Массачусетский технологический институт в 1963 году и получил степень доктора медицины в Гарвардской медицинской школе в 1967 году. После завершения ординатуры в Массачусетской больнице общего профиля и стажировки в области нефрологии в Пенсильванском университете он поступил на факультет Медицинской школы Университета Майами. в 1974 г.

В настоящее время он работает профессором Кэтлин и Стэнли Глейзер и заведующим кафедрой медицины. Его особые интересы включают кислотно-щелочную физиологию и клинические нарушения обмена электролитов, а также политику в области здравоохранения. В марте 2003 г. д-р Гарднер был избран председателем Совета Национального совета медицинских экспертов. Он также вступил в должность президента Ассоциации профессоров медицины 1 июля 2003 года.

Открытие Жизни-центра Луизы Папы — 2000

Школа медицины Университета Майами, лидер в мультидисциплинарном подходе к травмам спинного мозга и неврологическим расстройствам, консолидировала и расширила свои усилия, построив Центр Лоис Поуп LIFE.Филантроп Лоис Поуп и штат Флорида выделили по 10 миллионов долларов на строительство Центра Лайф Лоис Поуп площадью 115 000 квадратных футов. Ее подарок — самый крупный личный подарок, когда-либо направленный на исследование повреждений спинного мозга и нервной системы.

Центр Лоис Поуп LIFE служит центром исследований нейробиологии медицинской школы, в том числе проекта Майами по лечению паралича. The Miami Project, основанный в 1985 году доктором медицины Барт Грин и легендой футбола Ником Буониконти, представляет собой клиническое и фундаментальное научно-исследовательское предприятие, которое занимается поиском лекарства от паралича.В Центре Лоис Поуп LIFE также проводятся исследования болезни Альцгеймера, Паркинсона и инсульта.

.