1 к 3 раствор: Цементный раствор: пропорции, приготовление, состав, характеристики

Цементный раствор: пропорции, приготовление, состав, характеристики

Цемент – один из основных строительных материалов. Представляет собой сухое порошкообразное вещество неорганического происхождения. Этот вяжущий материал при взаимодействии с водой образует пластичную смесь, которая при затвердевании превращается в камневидное тело.

Наиболее распространенная разновидность цемента – портландцемент, в состав которого входят оксиды кальция, железа, магния, диоксид кремния, глинозем. Цемент, затворенный водой, дает сильную усадку при твердении, что приводит к появлению трещин в отвердевшем продукте. Поэтому вяжущее используется в сочетании с заполнителями и наполнителями, предотвращающими растрескивание цементного камня. Наиболее популярным мелким заполнителем является песок.

Назначение строительных цементных растворов

Цементно-песчаные (и другие) строительные растворы регламентируются ГОСТом 28013-98. По назначению их разделяют на следующие виды:

• Кладочные, в том числе для монтажных работ. Используются при ведении кирпичной или каменной кладки, для заполнения швов между бетонными и железобетонными панелями, выравнивания полов, заливки площадок, не предназначенных для восприятия серьезных нагрузок. Кладочный состав обеспечивает повышение тепло- и звукоизоляционных характеристик строения.

• Штукатурные. Применяются для выравнивания основания и защиты стенового материала от воздействия атмосферных явлений.
• Облицовочные. Служат для облицовки вертикальных и горизонтальных строительных конструкций керамической и керамогранитной плиткой.

В зависимости от назначения цементного раствора в его составе может быть песок различных фракций.

В соответствии с ГОСТом 28013-98 цементные растворы различаются по маркам прочности на сжатие.

Таблица областей применения в зависимости от марки прочности цементного раствора

Компоненты строительных цементных растворов

Для получения качественного строительного материала каждый компонент должен соответствовать требованиям нормативов:

• Цемент. В общих случаях используется портландцемент марок 400 и 500 без минеральных добавок или с минеральными добавками в количестве до 20%. Для особых эксплуатационных условий применяют сульфатостойкое, гидротехническое, пластифицированное цементное вяжущее.
• Песок. Должен соответствовать ГОСТу 8736-2014 «Песок для строительных работ». Для изготовления растворов используют речной и карьерный песок, очищенный от илистых и глинистых включений, снижающих качество готового продукта.
• Вода. Из питьевого трубопровода или проверенная на качество в лабораторных условиях. Температура +15…+20°C.

Цемент, песок и вода – основные компоненты строительного цементного раствора, но также в рецепт включаются добавки, придающие пластичной смеси или конечному продукту определенные свойства:

• Эластификаторы. Улучшают эластичность раствора и его адгезию к основанию, повышают устойчивость затвердевшего продукта к появлению трещин и влагостойкость. Функции эластификатора может выполнять ПВА.
• Пластификаторы и их более мощный вариант – суперпластификаторы. Увеличивают подвижность пластичной смеси, сокращают расход материала, уменьшают его склонность к расслоению. Наиболее простой вариант – применение моющих растворов. Их добавляют не в сухую смесь, а в воду.
• Гидроизоляторы. Такие добавки ускоряют схватывание и твердение раствора, повышают водонепроницаемость готового слоя.
• Латексные добавки. Сообщают готовому продукту широкий спектр полезных свойств – водостойкость, устойчивость к воздействию нефти и нефтепродуктов, других агрессивных химических веществ.
• Противоморозные. Применяются при ведении работ в холодный период года.
• Сажа, графит и другие красящие вещества. Не влияют на физические характеристики материала, применяются только для изменения цвета готового продукта.

Удельный вес цементно-песчаного раствора зависит от вида и пропорций составляющих, в среднем он равен 1800 кг/м³.

Этапы приготовления

Пропорции компонентов зависят от области применения цементного раствора, а следовательно, от марки прочности на сжатие.

Таблица пропорций компонентов раствора – цемента и песка по массе

При небольших объемах работ приготовление цементно-песчаного раствора возможно вручную.

Последовательность:

• Смешивают вяжущее и песок в сухом состоянии в металлической емкости или на стальном листе. Делать это на грунте не рекомендуется, поскольку состав загрязняется.
• После того как смесь приобретет однородный сероватый цвет ее сгребают в гряду или кучку, на вершине которой делают небольшое углубление. В него небольшими порциями добавляют воду.
• Полученный состав вымешивают.

Готовый продукт должен напоминать по густоте сметану, след от лопаты должен быть четким, не расплывчатым.

Приготовление материала в бетономешалке обеспечивает высокую скорость процесса и хорошее качество готовой пластичной смеси, благодаря тщательному перемешиванию и получению полностью однородного продукта.

Как сделать цементный раствор в бетономешалке:

• В барабан заливают примерно половину положенного объема воды. Примерное количество воды – половина от объема цемента.
• Перед тем как развести цемент, в воду вводят добавки, например моющее средство, которое должно полностью раствориться с образованием равномерной пены. Время перемешивания – 3-5 минут.
• В барабан добавляют цемент и половину песка. Время перемешивания – 1-3 минуты.
• Вводят остаток песка, перемешивают, регулируют плотность цементного раствора путем введения нужного количества воды.
• Последний замес – 3-5 минут.

В результате получается однородный продукт, без комков, воздушных пузырей и расслоений. Приготовленный пластичный материал не должен растекаться и рассыпаться. Для проверки его готовности комок выкладывают на ровную поверхность. Требования – из комка не должна вытекать вода, со временем он немного оседает без потери первоначальной формы.

Цементный раствор — пропорции: как развести и сколько песка и цемента в 1 м3, соотношение частей и расход

Цемент – это основной строительный материал, который используется практически во всех отраслях народного хозяйства. С помощью данного вещества можно получить очень прочные продукты, способные выдерживать высокие нагрузки и противостоять внешним воздействиям. Но все эти характеристики зависят также и от используемых компонентов, и технологии приготовления. Цементные растворы широко применяются в строительстве, так как позволяют упростить много операций.

Особенности

Цементные растворы представляют собой искусственные смеси, которые после застывания образуют прочную структуру. Состоит подобный продукт из нескольких основных компонентов.

• Песок. Он используется в качестве основного компонента, так как объединяет в себе мелкую структуру и относительно высокую прочность. Для приготовления растворов могут использовать речной или карьерный песок. Первый тип материала применяется при монолитном строительстве, позволяя получить очень прочные продукты.
• Вода. Данный компонент нужен для связывания песка и цемента. Количество жидкости подбирается в зависимости от марки и предназначения раствора.
• Цемент. Это основное вещество, которое отличается высокой адгезией с другими материалами. Сегодня существует несколько марок цемента, предназначенного для эксплуатации в различных условиях. Отличаются они показателями прочности.
• Пластификаторы. Технически это различные виды примесей, которые предназначаются для изменения физических или химических свойств раствора. Они используются не так часто, так как это может значительно увеличивать стоимость продукта.

Подобную продукцию используют для решения следующих видов задач:

• оштукатуривание – некоторыми растворами покрывают стены для защиты строительного материала, а также с целью выравнивания основания;
• кладка – цементные смеси прекрасно связывают между собой кирпич или газоблок, поэтому их используют в качестве своеобразного клея, располагающегося внутри каждого шва;
• создание железобетонных конструкций.

Виды составов и требования

Основной характеристикой цементного раствора является его прочность. Она обусловлена соотношением цемента и песка. Состав продукта может изменяться штучно, что позволяет получить несколько видов смесей. Каждый из них предназначается для использования в определенных условиях. Поэтому важно правильно готовить продукцию при строительстве различных объектов.

Типы

Одним из критериев разделения цементных смесей на виды являются пропорции внутренних компонентов. Стоит обратить внимание, что в одном составе может присутствовать только одна марка цемента. Но они могут также изменяться, так как прочность будет зависеть уже только от концентрации компонентов. Условно их разделяют на несколько марок.

• М100 (М150) – эти смеси отличаются незначительной прочностью. Для их приготовления можно использовать цемент марок М200–М500. Но при этом необходимо правильно подбирать пропорции цементно-песчаных компонентов.
• М200 – это один из самых распространенных видов растворов. Его используют очень часто в быту для строительства дорожек и или формирования покрытий, которые не поддаются значительным нагрузкам. Сохнет данная смесь относительно быстро, но при этом требует соблюдения определенных микроклиматических условий.

• М300 – данный вид раствора можно уже отнести к бетонным типам. Он используется для приготовления бетонов, из которых затем изготавливают прочные плиты перекрытия, заливают фундаменты и много другого.
• М400 – это прочный бетон, который состоит из качественных марок цемента (М350, М400, М500). Используют его в строительстве фундаментов для многоэтажных домов. Данный раствор составляет основу для изготовления железобетонных плит перекрытия и других подобных изделий.
• М500 – это самый прочный бетон, который способен выдерживать очень высокие нагрузки. Он сохраняет свои первоначальные свойства на протяжении многих лет и при воздействии различных раздражителей.

Добавки

Качество цементного раствора зависит практически от всех его составляющих, которые присутствуют внутри. Иногда свойств песчано-цементной смеси недостаточно, поэтому нужно адаптировать их под определенные условия.

Решается эта проблема с помощью добавления в состав различных примесей. С помощью подобных присадок получают так называемое жидкое стекло. Эти продукты используются для оштукатуривания стен и других поверхностей.

Сегодня в качестве добавок для цементных растворов используют несколько продуктов.

• Известь. В качестве добавок применяют только гашенные ее виды. Внедрение этого вещества позволяет немного увеличить паропроницаемость и прочность. Но чтобы приготовить подобную продукцию, следует соблюдать точные пропорции. Очень часто на основе извести изготавливают штукатурки, которые прекрасно наносятся на стены.
• ПВА. Клей улучшает адгезию и пластичность раствора. Важно правильно подбирать концентрацию добавки, чтобы получить хорошую смесь.
• Моющие средства. Подобные продукты влияют на пластичность раствора. Добавляют их в состав только после воды. Здесь также обязательно соблюдается точная доза примеси на единицу объема.
• Сажа или графит. Эти вещества практически не влияют на физические свойства смеси. Используются они только в качестве красителей для изменения цвета готового продукта.

Соотношение песка и цемента

Приготовить цементно-песчаный раствор можно даже в домашних условиях, так как состоит он из доступных компонентов. Приобрести их довольно легко практически в любом строительном магазине. Но отличаются растворы соотношением цемента и песка, от которых и зависит расход и физические характеристики материала.

Кирпичная кладка

Скрепление кирпичей – это одна из основных задач цементных растворов. Для таких целей используют не особо прочные марки (до М400). Для получения подобной смеси специалисты рекомендуют использовать песок средней фракции с минимальным уровнем влажности. Приготовить кладочный раствор можно используя различные марки цемента. Но при этом будет уже изменяться соотношение цемента и песка. Некоторые пропорции представлены в таблице 1.

Таблица 1. Соотношения компонентов в зависимости от марки цемента

Обратите внимание, что расчет желательно проводить согласно только одних единиц измерения. В большинстве случаев все части рассчитывают на 1 м³. Но при этом массам различных материалов в кубе может отличаться.

Приготовление бетона

Бетонные конструкции также очень часто используются в современной промышленности. Эти материалы изготавливаются на заводах или непосредственно на строительных площадках. Прочность таких изделий также зависит от цемента, который планируется использовать. Технически бетон можно изготовить и из раствора марки М100, но он не будет выдерживать нагрузки, и отличаться минимальным сроком службы.

Еще одной особенностью бетонов является наличие в составе щебня и других вспомогательных компонентов. Они внедряются с целью изменения технических характеристик продукта.

Следует отметить, что смешиваться они могут в различных комбинациях, что зависит от среды использования бетона.

Сегодня многие специалисты используют такое соотношение компонентов бетонных растворов, как:

• 4 части щебня;
• 1 часть цемента;
• 2 части песка;
• ½ части воды.

Обратите внимание, что пропорции могут изменяться, если еще планируется использовать различные полимерные добавки. В таких случаях желательно обращать внимание на рекомендации производителей данных примесей.

Для штукатурки и стяжки

Заливка пола очень часто предполагает использование относительно жидких цементных растворов. Такая консистенция позволяет равномерно распределить смесь на основании и получить горизонтальную поверхность. Штукатурка же практически всегда состоит только из чистого песка, цемента и воды. Ее густота может быть разной, так как все зависит от того, где ее планируется использовать.

Самой распространенной пропорцией для получения штукатурных смесей является отношение цемента к песку 1: 5. Консистенция адаптируется под потребности мастера.

Особое внимание следует уделить стяжкам, которые поддаются значительным и постоянным нагрузкам. Для таких поверхностей следует использовать материалы, у которых пороговая прочность не меньше 10 МПа. Достигается это за счет использования бетонов марки не ниже М150. Пропорция приготовления раствора для стяжки зависит от следующих факторов:

• использование смесей с целью сокрытия различных коммуникационных элементов;
• толщина выравнивания поверхности. Если нужно просто укрепить пол с небольшими перепадами, тогда применяют более жидкие составы. Для более толстых слоев желательно использовать прочные виды растворов.

Таблица 2. Пропорции песка и цемента в стяжках

Обратите внимание, что пропорции компонентов в большинстве случаев повторяются. Но при этом прочность получаемого раствора на выходе отличается. Это важно учитывать, если продукция будет применяться в специфических условиях эксплуатации.

Как правильно развести?

Процесс приготовления цементных растворов предполагает смешивание всех компонентов в определенной последовательности. Описать подобную процедуру можно несколькими последовательными шагами.

• В первую очередь нужно определиться с типом раствора, который нужен. При этом обращают внимание на прочность результирующей смеси. Если важен этот показатель, следует провести дополнительный расчет всех составляющих. Особое внимание следует обращать на нормы или стандарты.

• На данном этапе смешивают сухие компоненты, объем которых измеряется в 1 м³ или других подобных единицах. Перед тем как замесить раствор, следует тщательно перемешать песок и цемент, чтобы получить равномерную смесь. Поэтому так важно использовать сухие вещества.
• Когда подготовка прошла успешно, можно разводить смесь. Для этого постепенно в нее добавляют воду и тщательно смешивают все компоненты. Лучше всего использовать бетономешалки или другие механические приспособления. Консистенция раствора регулируется с помощью жидкости.

Советы и рекомендации

Приготовление цементного раствора является простой операцией. При ее осуществлении все-таки рекомендовано соблюдать несколько простых правил, рекомендуемых производителем и опытными строителями, такие как:

• если смесь должна быть пластичной, для этого нужно добавлять в нее жидкое мыло. Его смешивать нужно предварительно с водой;
• следует добавлять воду небольшими порциями. Таким образом, можно контролировать густоту смеси, которая очень важна для стяжек или кладки;
• при строительстве обязательно нужно учитывать марку самого кирпича или другого материала. Специалисты рекомендуют готовить такие смеси, которые по данным параметрам должны совпадать. Это позволит получить однородную структуру стены, которая будет отличаться прочностью;
• для повышения теплоизоляционных характеристик штукатурок стоит добавлять в их состав перлит. При этом им нужно заменять определенную часть песка;
• рекомендуется использовать только свежий цемент, структура которого не содержит комков. Это гарантирует высокую адгезию и равномерное смешивание.

Цементный раствор – это прекрасный материал, позволяющий получить прочные конструкции. Правильно приготовленная смесь – это залог долговечности практически любого строения и его основания.

Подробнее о пропорциях цементного раствора вы узнаете из следующего видео.

Цементный раствор — пропорции: как развести и сколько песка и цемента в 1 м3, соотношение частей и расход

Цемент – это основной строительный материал, который используется практически во всех отраслях народного хозяйства. С помощью данного вещества можно получить очень прочные продукты, способные выдерживать высокие нагрузки и противостоять внешним воздействиям. Но все эти характеристики зависят также и от используемых компонентов, и технологии приготовления. Цементные растворы широко применяются в строительстве, так как позволяют упростить много операций.

Особенности

Цементные растворы представляют собой искусственные смеси, которые после застывания образуют прочную структуру. Состоит подобный продукт из нескольких основных компонентов.

• Песок. Он используется в качестве основного компонента, так как объединяет в себе мелкую структуру и относительно высокую прочность. Для приготовления растворов могут использовать речной или карьерный песок. Первый тип материала применяется при монолитном строительстве, позволяя получить очень прочные продукты.
• Вода. Данный компонент нужен для связывания песка и цемента. Количество жидкости подбирается в зависимости от марки и предназначения раствора.
• Цемент. Это основное вещество, которое отличается высокой адгезией с другими материалами. Сегодня существует несколько марок цемента, предназначенного для эксплуатации в различных условиях. Отличаются они показателями прочности.
• Пластификаторы. Технически это различные виды примесей, которые предназначаются для изменения физических или химических свойств раствора. Они используются не так часто, так как это может значительно увеличивать стоимость продукта.

Подобную продукцию используют для решения следующих видов задач:

• оштукатуривание – некоторыми растворами покрывают стены для защиты строительного материала, а также с целью выравнивания основания;
• кладка – цементные смеси прекрасно связывают между собой кирпич или газоблок, поэтому их используют в качестве своеобразного клея, располагающегося внутри каждого шва;
• создание железобетонных конструкций.

Виды составов и требования

Основной характеристикой цементного раствора является его прочность. Она обусловлена соотношением цемента и песка. Состав продукта может изменяться штучно, что позволяет получить несколько видов смесей. Каждый из них предназначается для использования в определенных условиях. Поэтому важно правильно готовить продукцию при строительстве различных объектов.

Типы

Одним из критериев разделения цементных смесей на виды являются пропорции внутренних компонентов. Стоит обратить внимание, что в одном составе может присутствовать только одна марка цемента. Но они могут также изменяться, так как прочность будет зависеть уже только от концентрации компонентов. Условно их разделяют на несколько марок.

• М100 (М150) – эти смеси отличаются незначительной прочностью. Для их приготовления можно использовать цемент марок М200–М500. Но при этом необходимо правильно подбирать пропорции цементно-песчаных компонентов.
• М200 – это один из самых распространенных видов растворов. Его используют очень часто в быту для строительства дорожек и или формирования покрытий, которые не поддаются значительным нагрузкам. Сохнет данная смесь относительно быстро, но при этом требует соблюдения определенных микроклиматических условий.

• М300 – данный вид раствора можно уже отнести к бетонным типам. Он используется для приготовления бетонов, из которых затем изготавливают прочные плиты перекрытия, заливают фундаменты и много другого.
• М400 – это прочный бетон, который состоит из качественных марок цемента (М350, М400, М500). Используют его в строительстве фундаментов для многоэтажных домов. Данный раствор составляет основу для изготовления железобетонных плит перекрытия и других подобных изделий.
• М500 – это самый прочный бетон, который способен выдерживать очень высокие нагрузки. Он сохраняет свои первоначальные свойства на протяжении многих лет и при воздействии различных раздражителей.

Добавки

Качество цементного раствора зависит практически от всех его составляющих, которые присутствуют внутри. Иногда свойств песчано-цементной смеси недостаточно, поэтому нужно адаптировать их под определенные условия.

Решается эта проблема с помощью добавления в состав различных примесей. С помощью подобных присадок получают так называемое жидкое стекло. Эти продукты используются для оштукатуривания стен и других поверхностей.

Сегодня в качестве добавок для цементных растворов используют несколько продуктов.

• Известь. В качестве добавок применяют только гашенные ее виды. Внедрение этого вещества позволяет немного увеличить паропроницаемость и прочность. Но чтобы приготовить подобную продукцию, следует соблюдать точные пропорции. Очень часто на основе извести изготавливают штукатурки, которые прекрасно наносятся на стены.
• ПВА. Клей улучшает адгезию и пластичность раствора. Важно правильно подбирать концентрацию добавки, чтобы получить хорошую смесь.
• Моющие средства. Подобные продукты влияют на пластичность раствора. Добавляют их в состав только после воды. Здесь также обязательно соблюдается точная доза примеси на единицу объема.
• Сажа или графит. Эти вещества практически не влияют на физические свойства смеси. Используются они только в качестве красителей для изменения цвета готового продукта.

Соотношение песка и цемента

Приготовить цементно-песчаный раствор можно даже в домашних условиях, так как состоит он из доступных компонентов. Приобрести их довольно легко практически в любом строительном магазине. Но отличаются растворы соотношением цемента и песка, от которых и зависит расход и физические характеристики материала.

Кирпичная кладка

Скрепление кирпичей – это одна из основных задач цементных растворов. Для таких целей используют не особо прочные марки (до М400). Для получения подобной смеси специалисты рекомендуют использовать песок средней фракции с минимальным уровнем влажности. Приготовить кладочный раствор можно используя различные марки цемента. Но при этом будет уже изменяться соотношение цемента и песка. Некоторые пропорции представлены в таблице 1.

Таблица 1. Соотношения компонентов в зависимости от марки цемента

Обратите внимание, что расчет желательно проводить согласно только одних единиц измерения. В большинстве случаев все части рассчитывают на 1 м³. Но при этом массам различных материалов в кубе может отличаться.

Приготовление бетона

Бетонные конструкции также очень часто используются в современной промышленности. Эти материалы изготавливаются на заводах или непосредственно на строительных площадках. Прочность таких изделий также зависит от цемента, который планируется использовать. Технически бетон можно изготовить и из раствора марки М100, но он не будет выдерживать нагрузки, и отличаться минимальным сроком службы.

Еще одной особенностью бетонов является наличие в составе щебня и других вспомогательных компонентов. Они внедряются с целью изменения технических характеристик продукта.

Следует отметить, что смешиваться они могут в различных комбинациях, что зависит от среды использования бетона.

Сегодня многие специалисты используют такое соотношение компонентов бетонных растворов, как:

• 4 части щебня;
• 1 часть цемента;
• 2 части песка;
• ½ части воды.

Обратите внимание, что пропорции могут изменяться, если еще планируется использовать различные полимерные добавки. В таких случаях желательно обращать внимание на рекомендации производителей данных примесей.

Для штукатурки и стяжки

Заливка пола очень часто предполагает использование относительно жидких цементных растворов. Такая консистенция позволяет равномерно распределить смесь на основании и получить горизонтальную поверхность. Штукатурка же практически всегда состоит только из чистого песка, цемента и воды. Ее густота может быть разной, так как все зависит от того, где ее планируется использовать.

Самой распространенной пропорцией для получения штукатурных смесей является отношение цемента к песку 1: 5. Консистенция адаптируется под потребности мастера.

Особое внимание следует уделить стяжкам, которые поддаются значительным и постоянным нагрузкам. Для таких поверхностей следует использовать материалы, у которых пороговая прочность не меньше 10 МПа. Достигается это за счет использования бетонов марки не ниже М150. Пропорция приготовления раствора для стяжки зависит от следующих факторов:

• использование смесей с целью сокрытия различных коммуникационных элементов;
• толщина выравнивания поверхности. Если нужно просто укрепить пол с небольшими перепадами, тогда применяют более жидкие составы. Для более толстых слоев желательно использовать прочные виды растворов.

Таблица 2. Пропорции песка и цемента в стяжках

Обратите внимание, что пропорции компонентов в большинстве случаев повторяются. Но при этом прочность получаемого раствора на выходе отличается. Это важно учитывать, если продукция будет применяться в специфических условиях эксплуатации.

Как правильно развести?

Процесс приготовления цементных растворов предполагает смешивание всех компонентов в определенной последовательности. Описать подобную процедуру можно несколькими последовательными шагами.

• В первую очередь нужно определиться с типом раствора, который нужен. При этом обращают внимание на прочность результирующей смеси. Если важен этот показатель, следует провести дополнительный расчет всех составляющих. Особое внимание следует обращать на нормы или стандарты.

• На данном этапе смешивают сухие компоненты, объем которых измеряется в 1 м³ или других подобных единицах. Перед тем как замесить раствор, следует тщательно перемешать песок и цемент, чтобы получить равномерную смесь. Поэтому так важно использовать сухие вещества.
• Когда подготовка прошла успешно, можно разводить смесь. Для этого постепенно в нее добавляют воду и тщательно смешивают все компоненты. Лучше всего использовать бетономешалки или другие механические приспособления. Консистенция раствора регулируется с помощью жидкости.

Советы и рекомендации

Приготовление цементного раствора является простой операцией. При ее осуществлении все-таки рекомендовано соблюдать несколько простых правил, рекомендуемых производителем и опытными строителями, такие как:

• если смесь должна быть пластичной, для этого нужно добавлять в нее жидкое мыло. Его смешивать нужно предварительно с водой;
• следует добавлять воду небольшими порциями. Таким образом, можно контролировать густоту смеси, которая очень важна для стяжек или кладки;
• при строительстве обязательно нужно учитывать марку самого кирпича или другого материала. Специалисты рекомендуют готовить такие смеси, которые по данным параметрам должны совпадать. Это позволит получить однородную структуру стены, которая будет отличаться прочностью;
• для повышения теплоизоляционных характеристик штукатурок стоит добавлять в их состав перлит. При этом им нужно заменять определенную часть песка;
• рекомендуется использовать только свежий цемент, структура которого не содержит комков. Это гарантирует высокую адгезию и равномерное смешивание.

Цементный раствор – это прекрасный материал, позволяющий получить прочные конструкции. Правильно приготовленная смесь – это залог долговечности практически любого строения и его основания.

Подробнее о пропорциях цементного раствора вы узнаете из следующего видео.

Цементный раствор — пропорции: как развести и сколько песка и цемента в 1 м3, соотношение частей и расход

Цемент – это основной строительный материал, который используется практически во всех отраслях народного хозяйства. С помощью данного вещества можно получить очень прочные продукты, способные выдерживать высокие нагрузки и противостоять внешним воздействиям. Но все эти характеристики зависят также и от используемых компонентов, и технологии приготовления. Цементные растворы широко применяются в строительстве, так как позволяют упростить много операций.

Особенности

Цементные растворы представляют собой искусственные смеси, которые после застывания образуют прочную структуру. Состоит подобный продукт из нескольких основных компонентов.

• Песок. Он используется в качестве основного компонента, так как объединяет в себе мелкую структуру и относительно высокую прочность. Для приготовления растворов могут использовать речной или карьерный песок. Первый тип материала применяется при монолитном строительстве, позволяя получить очень прочные продукты.
• Вода. Данный компонент нужен для связывания песка и цемента. Количество жидкости подбирается в зависимости от марки и предназначения раствора.
• Цемент. Это основное вещество, которое отличается высокой адгезией с другими материалами. Сегодня существует несколько марок цемента, предназначенного для эксплуатации в различных условиях. Отличаются они показателями прочности.
• Пластификаторы. Технически это различные виды примесей, которые предназначаются для изменения физических или химических свойств раствора. Они используются не так часто, так как это может значительно увеличивать стоимость продукта.

Подобную продукцию используют для решения следующих видов задач:

• оштукатуривание – некоторыми растворами покрывают стены для защиты строительного материала, а также с целью выравнивания основания;
• кладка – цементные смеси прекрасно связывают между собой кирпич или газоблок, поэтому их используют в качестве своеобразного клея, располагающегося внутри каждого шва;
• создание железобетонных конструкций.

Виды составов и требования

Основной характеристикой цементного раствора является его прочность. Она обусловлена соотношением цемента и песка. Состав продукта может изменяться штучно, что позволяет получить несколько видов смесей. Каждый из них предназначается для использования в определенных условиях. Поэтому важно правильно готовить продукцию при строительстве различных объектов.

Типы

Одним из критериев разделения цементных смесей на виды являются пропорции внутренних компонентов. Стоит обратить внимание, что в одном составе может присутствовать только одна марка цемента. Но они могут также изменяться, так как прочность будет зависеть уже только от концентрации компонентов. Условно их разделяют на несколько марок.

• М100 (М150) – эти смеси отличаются незначительной прочностью. Для их приготовления можно использовать цемент марок М200–М500. Но при этом необходимо правильно подбирать пропорции цементно-песчаных компонентов.
• М200 – это один из самых распространенных видов растворов. Его используют очень часто в быту для строительства дорожек и или формирования покрытий, которые не поддаются значительным нагрузкам. Сохнет данная смесь относительно быстро, но при этом требует соблюдения определенных микроклиматических условий.

• М300 – данный вид раствора можно уже отнести к бетонным типам. Он используется для приготовления бетонов, из которых затем изготавливают прочные плиты перекрытия, заливают фундаменты и много другого.
• М400 – это прочный бетон, который состоит из качественных марок цемента (М350, М400, М500). Используют его в строительстве фундаментов для многоэтажных домов. Данный раствор составляет основу для изготовления железобетонных плит перекрытия и других подобных изделий.
• М500 – это самый прочный бетон, который способен выдерживать очень высокие нагрузки. Он сохраняет свои первоначальные свойства на протяжении многих лет и при воздействии различных раздражителей.

Добавки

Качество цементного раствора зависит практически от всех его составляющих, которые присутствуют внутри. Иногда свойств песчано-цементной смеси недостаточно, поэтому нужно адаптировать их под определенные условия.

Решается эта проблема с помощью добавления в состав различных примесей. С помощью подобных присадок получают так называемое жидкое стекло. Эти продукты используются для оштукатуривания стен и других поверхностей.

Сегодня в качестве добавок для цементных растворов используют несколько продуктов.

• Известь. В качестве добавок применяют только гашенные ее виды. Внедрение этого вещества позволяет немного увеличить паропроницаемость и прочность. Но чтобы приготовить подобную продукцию, следует соблюдать точные пропорции. Очень часто на основе извести изготавливают штукатурки, которые прекрасно наносятся на стены.
• ПВА. Клей улучшает адгезию и пластичность раствора. Важно правильно подбирать концентрацию добавки, чтобы получить хорошую смесь.
• Моющие средства. Подобные продукты влияют на пластичность раствора. Добавляют их в состав только после воды. Здесь также обязательно соблюдается точная доза примеси на единицу объема.
• Сажа или графит. Эти вещества практически не влияют на физические свойства смеси. Используются они только в качестве красителей для изменения цвета готового продукта.

Соотношение песка и цемента

Приготовить цементно-песчаный раствор можно даже в домашних условиях, так как состоит он из доступных компонентов. Приобрести их довольно легко практически в любом строительном магазине. Но отличаются растворы соотношением цемента и песка, от которых и зависит расход и физические характеристики материала.

Кирпичная кладка

Скрепление кирпичей – это одна из основных задач цементных растворов. Для таких целей используют не особо прочные марки (до М400). Для получения подобной смеси специалисты рекомендуют использовать песок средней фракции с минимальным уровнем влажности. Приготовить кладочный раствор можно используя различные марки цемента. Но при этом будет уже изменяться соотношение цемента и песка. Некоторые пропорции представлены в таблице 1.

Таблица 1. Соотношения компонентов в зависимости от марки цемента

Обратите внимание, что расчет желательно проводить согласно только одних единиц измерения. В большинстве случаев все части рассчитывают на 1 м³. Но при этом массам различных материалов в кубе может отличаться.

Приготовление бетона

Бетонные конструкции также очень часто используются в современной промышленности. Эти материалы изготавливаются на заводах или непосредственно на строительных площадках. Прочность таких изделий также зависит от цемента, который планируется использовать. Технически бетон можно изготовить и из раствора марки М100, но он не будет выдерживать нагрузки, и отличаться минимальным сроком службы.

Еще одной особенностью бетонов является наличие в составе щебня и других вспомогательных компонентов. Они внедряются с целью изменения технических характеристик продукта.

Следует отметить, что смешиваться они могут в различных комбинациях, что зависит от среды использования бетона.

Сегодня многие специалисты используют такое соотношение компонентов бетонных растворов, как:

• 4 части щебня;
• 1 часть цемента;
• 2 части песка;
• ½ части воды.

Обратите внимание, что пропорции могут изменяться, если еще планируется использовать различные полимерные добавки. В таких случаях желательно обращать внимание на рекомендации производителей данных примесей.

Для штукатурки и стяжки

Заливка пола очень часто предполагает использование относительно жидких цементных растворов. Такая консистенция позволяет равномерно распределить смесь на основании и получить горизонтальную поверхность. Штукатурка же практически всегда состоит только из чистого песка, цемента и воды. Ее густота может быть разной, так как все зависит от того, где ее планируется использовать.

Самой распространенной пропорцией для получения штукатурных смесей является отношение цемента к песку 1: 5. Консистенция адаптируется под потребности мастера.

Особое внимание следует уделить стяжкам, которые поддаются значительным и постоянным нагрузкам. Для таких поверхностей следует использовать материалы, у которых пороговая прочность не меньше 10 МПа. Достигается это за счет использования бетонов марки не ниже М150. Пропорция приготовления раствора для стяжки зависит от следующих факторов:

• использование смесей с целью сокрытия различных коммуникационных элементов;
• толщина выравнивания поверхности. Если нужно просто укрепить пол с небольшими перепадами, тогда применяют более жидкие составы. Для более толстых слоев желательно использовать прочные виды растворов.

Таблица 2. Пропорции песка и цемента в стяжках

Обратите внимание, что пропорции компонентов в большинстве случаев повторяются. Но при этом прочность получаемого раствора на выходе отличается. Это важно учитывать, если продукция будет применяться в специфических условиях эксплуатации.

Как правильно развести?

Процесс приготовления цементных растворов предполагает смешивание всех компонентов в определенной последовательности. Описать подобную процедуру можно несколькими последовательными шагами.

• В первую очередь нужно определиться с типом раствора, который нужен. При этом обращают внимание на прочность результирующей смеси. Если важен этот показатель, следует провести дополнительный расчет всех составляющих. Особое внимание следует обращать на нормы или стандарты.

• На данном этапе смешивают сухие компоненты, объем которых измеряется в 1 м³ или других подобных единицах. Перед тем как замесить раствор, следует тщательно перемешать песок и цемент, чтобы получить равномерную смесь. Поэтому так важно использовать сухие вещества.
• Когда подготовка прошла успешно, можно разводить смесь. Для этого постепенно в нее добавляют воду и тщательно смешивают все компоненты. Лучше всего использовать бетономешалки или другие механические приспособления. Консистенция раствора регулируется с помощью жидкости.

Советы и рекомендации

Приготовление цементного раствора является простой операцией. При ее осуществлении все-таки рекомендовано соблюдать несколько простых правил, рекомендуемых производителем и опытными строителями, такие как:

• если смесь должна быть пластичной, для этого нужно добавлять в нее жидкое мыло. Его смешивать нужно предварительно с водой;
• следует добавлять воду небольшими порциями. Таким образом, можно контролировать густоту смеси, которая очень важна для стяжек или кладки;
• при строительстве обязательно нужно учитывать марку самого кирпича или другого материала. Специалисты рекомендуют готовить такие смеси, которые по данным параметрам должны совпадать. Это позволит получить однородную структуру стены, которая будет отличаться прочностью;
• для повышения теплоизоляционных характеристик штукатурок стоит добавлять в их состав перлит. При этом им нужно заменять определенную часть песка;
• рекомендуется использовать только свежий цемент, структура которого не содержит комков. Это гарантирует высокую адгезию и равномерное смешивание.

Цементный раствор – это прекрасный материал, позволяющий получить прочные конструкции. Правильно приготовленная смесь – это залог долговечности практически любого строения и его основания.

Подробнее о пропорциях цементного раствора вы узнаете из следующего видео.

Пропорции цементного раствора для стяжки, заливки и кладки

Цементный раствор наиболее часто используется при кладке стен из различных блоков, изготовлении стяжки, а также в отделочных штукатурных работах. В зависимости от квалификации строительной бригады, доступности материалов и потребностей конкретного объекта, кладочная смесь изготавливается различными способами. Наиболее распространённый состав — это цемент и песок в соотношении 1:3 — 1:6. Опытные мастера для получения прочной долговечной кладки рекомендуют добавлять в раствор известь. Её включение в смесь значительно облегчает процесс работы с раствором, делает его более пластичным и предотвращает крошение кладочного шва после высыхания.

Чтобы говорить о точных пропорциях цементного кладочного раствора, следует учитывать два основных фактора. Во-первых, это требуемая марка прочности, она должна быть в среднем вдвое ниже марки стенового материала, чтобы стену не «порвало» в последствии под воздействием различных сил. Так, для получения раствора М100 на 1 кг цемента М400 следует добавлять 4,7 кг карьерного песка. В объёмном соотношении это будет 1 к 4,3. Во-вторых, обязательно учитывается подвижность раствора, то есть его способность растекаться. Данная характеристика определяет то, насколько легко будет работать с материалом, а это напрямую влияет на скорость кладки и её итоговое качество.

Пластичность раствора повышается за счёт добавления в него извести или специальных пластифицирующих добавок. Самый простой метод сделать раствор более пластичным — это добавить в него больше воды, однако такой подход значительно понижает прочность материала. Поэтому специалисты рекомендуют добавлять при замесе небольшое количество пластификатора, либо кроме песка и цемента включать в смесь известь. Пропорции раствора для кладки кирпича на основе цементно-песчано-известковой смеси будут следующими: на 1 часть цемента М400, 0,56 частей извести и 5,5 частей песка. Указанное соотношение даст раствор с прочностью М75, для получения М100 компоненты следует смешивать в пропорции 1:0,36:4,3.

Чтобы создать стяжку небольшой толщины без использования крупного заполнителя, типа щебня или гравия, допускается применение чистого цементно-песчаного раствора. В данном случае чтобы получить стяжку из раствора М100 потребуется на 1 объёмную часть цемента добавлять 3 части карьерного или просеянного речного песка. Такая пропорция подойдёт как для стяжки пола внутри помещения, так и для наружных покрытий, например, для дорожек в саду или на даче.

Раствор 1 3 сколько воды. Расход песка на куб (1 м3) раствора

От правильного подсчета требуемого числа строительных материалов зависит и темп строительства. И если, например, не вызывает особых затруднений, то определение расхода цемента на куб раствора, может создать определенные сложности.

Сколько цемента понадобится на куб раствора — каков будет расход?

Определить сколько цемента в кубе раствора довольно просто. Для этого необходимо знать соотношение заполнителя и вяжущего, а также плотность цемента (она составляет 1300 кг/м 3). Если используется соотношение вяжущего и заполнителя 1:4, то в составе растворной смеси будет 20% цемента
. Учитывая его плотность, расход цемента на куб раствора составит 1300/5 = 260 кг (5 с небольшим мешков)
. Расчет требуемого количества вяжущего можно выполнять и с помощью специальных онлайн-калькуляторов.

Важно помнить, что соотношение вяжущего и заполнителя указывается в объемном виде, при подсчете количества мешков цемента, нужно перевести эти значения в килограммы с учетом плотности материала.

Проще всего определить, сколько цемента пойдет на куб раствора для фундамента. Для этого нужно лишь рассчитать общий объем фундамента (в м 3). Затем определить объем вяжущего, необходимого для приготовления куба бетона и вычислить общую потребность в цементе.

В случае, если необходимо определить количество цемента для кладки стен задача усложняется, так как необходимо при подсчете учитывать толщину растворного шва. Для упрощения расчетов используют усредненный расход раствора для куба кладки. Практика показали, что на куб кладки расходуется порядка 0,25 – 0,3 м 3 раствора
. Поэтому при определении, сколько цемента приходится на куб кладки сначала необходимо определить объем стен здания.

Экспериментальным путем подтверждено, что количество раствора на 1 м 3 кладки облицовочного керамического кирпича на 13% превышает требуемое количество раствора для кладки прочих видов кирпичей.

От правильного подсчета необходимого количества вяжущего зависит все строительство в целом. В случае ошибки строительный процесс может застопориться в самый ответственный момент.

Что влияет на расход цемента при изготовлении раствора

При подборе состава смеси нужно помнить о том, что с ростом марки цемента уменьшается потребность в вяжущем. В отдельных случаях для того, чтобы сохранить структуру раствора после схватывания, в него вводится каменная пыль.

Расход цемента на куб раствора зависит от:

• типа раствора
  . В зависимости от назначения в строительстве могут применяться песчаные, известковые и глиняные растворы. Для каждого из этих растворов разнится соотношение вяжущего и заполнителя. Так, для того, чтобы приготовить цементно-песчаный раствор, цемент и песок берется в пропорции 1:3, 1:4. Для известкового – цемент вводится в соотношении 1:3 к известковому раствору. При использовании глины расход цемента на куб раствора вводится исходя из расчета 1:9;

• (определяет прочность застывшей смеси). Марка раствора выбирается в зависимости от того, в каком элементе здания он будет использоваться. Для фундамента и несущих стен определяющее значение имеет прочность кладки, поэтому рекомендуется использовать максимально прочные растворы. Для внутренних стен можно использовать смеси с меньшим расходом цемента. Для оштукатуривания стен можно использовать смеси с меньшим содержанием цемента;
• состав раствора
  – выбранное соотношение вяжущего и заполнителя.

Между маркой раствора и содержанием в смеси цемента существует прямая зависимость. Марка раствора в зависимости от содержания цемента в смеси приведена в таблице.

Приведенные в таблице значения содержания цемента в смеси справедливы для 1 м 3 раствора.

В зависимости от требуемой марки раствора разнятся и классы используемых цементов, а также соотношение вяжущего и заполнителя.

Ответ:
Теоретическое определение веса куба раствора строительного усложняется тем, что растворы могут иметь несколько составляющих (сложные растворы), разное соотношение этих составляющих, а так же разные виды песка по плотности зерен.

Вес 1 куба раствора напрямую зависит не только от его составляющих, но и от влажности. Согласно ГОСТа по средней плотности растворы подразделяются на легкие и тяжелые. К легким растворам относятся строительные растворы объемным весом менее 1500 кг/м 3 . К тяжелым растворам, соответственно, относятся растворы с объемным весом более 1500 кг/м 3 . Тяжелые растворы приготавливаются на заполнителях с объемным весом более 1200 кг/м 3 и при затвердении они имеют большую прочность и плотность. Легкие раствор в связи с наличием множества воздушных пор обладают меньшей теплопроводностью. Вес куба раствора зависит так же от крупности зерен заполнителя, а так же от гранулометрического состава – соотношения зерен заполнителя по крупности. Наибольший объемный вес заполнителя и, как следствие, раствора будет в том случае, если соблюдается определенное соотношение между количеством зерен различной крупности. Например, 1 м 3 песка с зернами диаметром 1 мм весит около 1400 кг, а из смеси зерен 0,15-5 мм весит уже 1600-1700 кг.
А если учесть, что песок – это не единственный вид заполнителя, то можно сделать вывод, что вес кубического метра сложного раствора можно установить только экспериментальным путем, путем взвешивания автотранспорта или же ориентировочно с помощью таблиц:

Табл.

Вес 1 куба раствора в зависимости от вида связующего и наполнителей

В таблице указаны основные марки раствора и расход сырья

Цементно-песчаная смесь используется в области строительства достаточно широко. Ее применяют для выполнения кирпичной кладки, выравнивания пола методом обустройства стяжки, а также для штукатурки. Компоненты будут одинаковыми. Отличается только расход цемента и песка на 1м3 раствора. На первый взгляд может показаться, что здесь все достаточно просто – следует использовать соотношение 1:3 или 1:4 – в зависимости от требований к прочности состава. Но какую пропорцию и в каких случаях применять?

Основные моменты

Прежде чем приступать к проведению подробных подсчетов, следует рассмотреть главные факторы, оказывающие влияние на расход цемента и песка. Их несколько:

Интересно! Квалифицированные строители утверждают, что для получения кубометра раствора необходимо использовать куб песка. Цемент и вода просто заполнят пространство между песчинками.

В большинстве случаев состав готовится по идентичному предыдущему варианту принципу. Но профессионалы дополнительно используют пластификаторы, улучшающие эксплуатационные свойства смеси, а также полипропиленовое волокно. Такие компоненты позволят получить высококачественное покрытие, способное прослужить не один десяток лет.

В приготовлении раствора оптимальным вариантом становится отвердитель марки М150, М200, М300, М400. Расход цемента и песка на стяжку представлен соотношением 1:3. Проще говоря, на 50 кг последнего берут 15-16 кг отвердителя.

Важно! Большое внимание нужно уделить консистенции полученного состава. Он должен быть подобен густой сметане, чуть растекаться на ровной поверхности. Если воды слишком много, смесь получилась очень жидкой — ее эксплуатационные характеристики снизятся, стяжка окажется бракованной.

Оштукатуривание поверхностей

Штукатурка основания при выполнении наружных отделочных работ требует использования не менее качественного компонента, нежели стяжка. Оптимальным вариантом станет цемент марки М300 и М400. На одну часть его следует брать 3 части песка. Для приготовления цементно-известкового раствора понадобится одна часть портландцемента М400 или М500, ½ известкового теста, 2 объема промытого песка. Это оптимальные нормы расхода цемента и песка для штукатурки.

Сегодня ни один ремонт и уж тем более ни одна стройка не обходится без качественной смеси. Главенствующую позицию здесь, как и прежде, удерживают цементные растворы и смеси на основе цемента. Работа с этим материалом требует осторожности, определенных знаний и умения производить правильные и точные расчеты. Но поговорим обо всем по порядку.

Основные характеристики цементных смесей

На сегодняшний день даже в таком деле, как приготовление цементной смеси, все сделано для того, чтобы облегчить человеку его труд. Готовых цементных смесей на рынке товаров представлено огромное множество.

Подразделяются они в основном согласно видам предполагаемых работ:

• Смеси универсальные
  . Предназначены для заливочных и кладочных работ. Изготовлена из цемента и карьерного песка фракции 1,5 – 2,3 мм.
• Смеси пескобетонные
  . Предназначены для заливочных работ. Изготавливаются на основе песка фракции 3 мм.
• Смеси штукатурные
  . Созданы специально для штукатурных работ. Производятся на основе цемента марки ПЦ-400Д0.
• Смеси для монтажно-кладочных работ
  . Предназначены для работ с кирпичом и другими материалами. Также производятся на основе цемента марки ПЦ-400Д0.

Конечно, все эти смеси можно приготовить самостоятельно. Как правило, это стоит дешевле, но рассчитывать пропорции придется самостоятельно. Купив готовую смесь в строительном магазине, нужно всего лишь прочесть инструкцию и следовать согласно ей.

Характеристики сухих смесей определяют их добавки. Добавки входят в состав всех готовых цементных смесей. Если раствор готовится самостоятельно, то добавки можно приобрести отдельно.

Добавок в продаже много:

• Пластификаторы
• Замедлители схватывания
• Воздухововлекающие
• Противоморозные
• Армирующие
• Гидроизоляционные
• Ускорители твердения
• Пигменты

Каждая из этих добавок отвечает за свою функцию и является определяющей будущего цементного раствора.

Например, гидроизоляционная добавка просто необходима при строительстве плотин, а в суровых северных условиях необходимо производить бетонные работы с использованием противоморозных добавок.

Основные расчеты

Этап начала любого строительства – это период точных расчетов. Подсчитать нужно все: количество материалов, размеры строения, количество требуемых вложений. Поверхностный анализ здесь не приветствуется.

Расчет бетона производится в кубических метрах. Возьмем за основу расчет бетона для бетонной половой стяжки в сарае. Предварительно понадобится удалить старые полы, углубить грунт на 25-30 сантиметров и засыпать примерно 7 сантиметров песка. Далее на пол укладывают сварную решетку для того, чтобы она укрепила будущее основание.

Теперь определяем размер сарая и толщину будущего пола. Допустим, размер сарая – два на три метра. Соответственно, его площадь будет равна шести метрам. Толщину пола определим равную 10 сантиметрам, это 0,1 метра.

Объем ищем по формуле:

6*0,1=0,6 м 3 .

Так мы рассчитали, что нам понадобится 0,6 кубометров бетона. Осталось рассчитать, сколько понадобится приобрести смеси для изготовления раствора.

Количество мешков в одном кубе

Когда речь касается изготовления цементной смеси самостоятельно, это порой пугает человека. Здесь нужно обладать знаниями в области пропорций изготовления бетона. Но ничего особо сложного в этом нет.

Пример используем с цементной стяжкой:

• Сначала определяем, с какой маркой цемента будем работать.
  Для пола хорошо подойдет марка М400.
• После этого умножим наши 0,6 кубометров на коэффициент 1,02.
  Он учитывает потерю некой части раствора при строительстве, поскольку что-то может разлиться, что-то осядет на стенках ведра. Получаем 0,612 метров кубических.
• Теперь определим пропорции смеси.
  Учтите, для каждой марки бетона она своя. Для М400 на 1 кг цемента требуется 3 кг песка.
• В завершении рассчитаем количество материала в соответствии с плотностью раствора.
  Для стяжки пола раствор не должен быть жидким, он должен быть достаточно густым. Есть определенные правила, согласно которым на один куб бетона марки М400 необходимо 490 кг цемента.

Считаем:

0,612*490=299,88 (округлим до 300)

В итоге получаем, что для нашего пола понадобится 300 кг цемента марки М400 и 900 кг песка.

Теперь можно приступать к работе! Песок предварительно просеивают, если это необходимо.

Вычисление объема конструкции

Заливка пола – достаточно простой процесс, особенно это касается расчетов объема. Но что делать, если рассчитать нужно сложную конструкцию. Например, фундамент дома, к тому же углового. Или при расчете заливки свай цилиндрической формы.

Подобные конструкции высчитываются согласно стандартным математическим формулам:

• Если речь идет о фундаменте, предварительно нужно поделить его на блоки
  , представляющие собой параллелепипеды. Высчитать их объемы по формуле, указанной выше.Для удобства повторим ее:
  

  V=S*h
  , где
  V
  – объем,
  S
  – площадь основания,
  h
  – высота.

• Формула для расчета объема цилиндра:
  

  V=P*r2*h, где
  P
  — число Пи,
  r
  – радиус окружности основания,
  h
  – высота цилиндра.

Для особо ленивых, не любящих расчеты вручную, интернет предлагают большое количество сложных калькуляторов онлайн, способных рассчитать не только объемы конструкций, но и количество материалов для стяжки, а также арматуру. Никаких ограничений!

Количество смеси из мешка

Используем тот же пример пола в сарае, учитывая коэффициент 1,02:

• Во-первых, определяем, что пол нужно будет заливать пескобетонной смесью
  марки М-300 (это марка смеси, а не цемента).
• Затем считаем, сколько мешков понадобится.
  При работе с готовыми смесями расход на них указан прямо на упаковке. Например, расход на 0,01 м 3 одной известной торговой марки требуется 16-17 кг смеси. Одна упаковка – это 40 килограмм.

Считаем
:

0,612*17/0,01=1040,4 кг

Таким образом, необходимо приобрести двадцать шесть мешков смеси. Но скорее всего придется приобрести еще один мешок, если 400 грамм смеси не хватит.

Обращаем ваше внимание, что у каждого производителя свои пропорции расхода готовой смеси, поэтому нужно определять это только по упаковке.

Никаких стандартов как таковых нет, поскольку сегодня смеси изготавливаются не только согласно ГОСТ в нашей стране, но и активно закупаются из стран ближнего и дальнего зарубежья, а регламента как такового на смеси просто нет.

Пропорции растворов

В зависимости от типа бетонных работ рассчитываются пропорции песка, цемента, щебня и других материалов, являющихся наполнителями.

Поговорим обо всех:

• Раствор для фундамента.
  Он рассчитывается согласно пропорции 1:3:5. То есть 1 часть цемента, 3 части песка и 5 частей щебня. Используется цемент марки М-300 и выше.
• Раствор для штукатурки.
  Рассчитывается в пропорциях 1:5. На одну часть цемента берется пять частей песка.
• Для цементных растворов
  используют пропорции в соответствии с таблицей. Расчет показан для марок цемента М400 и М500, где Ц – цемент, П – песок, Щ — щебень.

Обратите внимание, марки цементных растворов определяют не только пропорции, но и виды работ, которые можно производить с этими смесями. Подробнее об этом – чуть ниже.

Если использовать специализированные добавки для бетонов, пропорции будут меняться, но это индивидуально. Как правило, на упаковках добавок указана область их применения и способ разведения.

Технология приготовления бетона

Такой важный раствор, как бетон, изготавливается путем смешивания цемента, песка, воды и наполнителя, которым является щебень, гравий и т.д. Все компоненты должны быть хорошего качества, потому что от этого зависит безопасность будущих конструкций.

Вода обязательно должна быть чистой, а цемент сухим и рассыпчатым:

1. Для приготовления раствора сначала смешивают в бетономешалке
   цемент, воду и часть песка до образования однородной смеси и лишь потом добавляют щебень, остатки песка и воды.
2. Количество воды до изготовления не измеряют.
   Вся суть сводится к тому, чтобы обеспечить раствору равномерное смешивание, что очень скажется на выполнении дальнейших работ по строительству.
3. Растворы мешают не очень большими порциями.
   Некоторые из них достаточно быстро схватываются. В итоге раствор должен походить на густую сметану. При работе с многоквартирными многоэтажными домами растворы изготавливают строго в соответствии со стандартами, но и при строительстве дач и коттеджей лучше не экономить.

   Работы необходимо производить в резиновых перчатках, при попадании раствора в глаза, тщательно промыть водой

4. Заливать готовый раствор лучше одним этапом.
   Это касается как половых стяжек, так и фундамента. Раствор должен равномерно сцепиться друг с другом на молекулярном уровне. Заливку производят в солнечный день. Если после того, как смесь залили, начал капать дождь, всю стяжку нужно накрыть полиэтиленом. Влага вредит бетону.
5. Для прочности конструкции нужно обеспечить ему равномерное высыхание.
   По мере этого происходит испарение влаги. Если на улице сухо и жарко, нужно ежедневно поливать бетон. Это позволит избежать слишком быстрого высыхания и, как следствие, — растрескивания.

Разновидности цементных смесей

Выше много сказано о разновидностях смесей цементных растворов.

Рассмотрим их основные характеристики согласно представленным маркам:

• М100
  – Подходит для штукатурных и монтажно-кладочных работ;
• М150 и М200
  – для изготовления стяжек и виброкирпичных панелей, а также для оштукатуривания и кладки. Можно использовать для стяжки пола, но только при использовании песка крупной фракции;
• М250
  – для монтажа ненагруженных монолитных перекрытий и для заливки прочных стяжек, например, пола;
• М300
  – смесь для стяжек, бетонирования лестниц, отмосток, крепления ЖБИ;
• М400 и М450
  – марки, обладающие высокой прочностью.

В качестве заключения

Изготовление цементных растворов, расчет конструкций – задача отнюдь не сложная. Как правило, сложнее всего выполнять бетонные работы, трудясь в поте лица над строительством собственного дома или гаража. Зная все хитрости, можно с легкостью осилить эту работу!

Самое главное, чтобы работа была выполнена качественно, с соблюдением всех правил, тогда и дом простоит долго, и то, что сделано из него с использованием смесей, прослужит хорошую службу.

Раствор в строительстве используется повсеместно: для кладки стен, устройства стяжки, штукатурки поверхности и во многих других случаях. В основной состав любого раствора входят вяжущее (цемент, известь), мелкий заполнитель и вода. Чаще всего используют смесь, состоящую из цемента, песка, воды и других добавок (извести, пластификаторов и прочее). А для его приготовления нужно знать расход песка на 1 м3 раствора, чтобы не покупать лишнего.

Технология приготовления раствора достаточно проста: сначала в мешалке смешивается цемент и песок в нужных пропорциях, а затем добавляется вода, для получения смеси нужной консистенции. Важным этапом в приготовлении любого вида раствора является правильная дозировка компонентов. Так при недостаточном количестве цемента получают тощий раствор, а если его слишком много – жирный раствор. Казалось бы, смесь с большим количеством цемента должна иметь повышенные показатели прочности, долговечности, но на самом деле такая смесь, после высыхания, будет давать трещины.

В зависимости от конкретных требований раствор может иметь марки от М25 до М200. Марка раствора – это предел его прочности на сжатие. Повышение или понижение марки растворов зависит от пропорций основных компонентов (цемент: песок) или марки вяжущего, если пропорция не меняется.

По предназначению растворные смеси подразделяют на: кладочные смеси (применяются для кладки стен), штукатурные (для оштукатуривания поверхностей) и строительные для укладки стяжки и других целей.

Как рассчитать расход песка на 1 м3 раствора

Для того, чтобы узнать количество песка на куб раствора, нужно знать пропорцию. Так для получения марки раствора М100 при использовании цемента М400 пропорция цемента и песка 1 к 4, воды идёт столько же сколько и цемента. Из этого выходит, что на куб нужно 6 частей различных материалов, то есть примерно 1,6 на каждую часть, отсюда стартовое соотношение цемента песка и воды 1:4:1 приобретёт вид 1,6:6,4:1,6. Зная, что в кубе раствора 1000 литров можно подсчитать примерное соотношение материалов 160:640:160

Из выведенной формулы можно подсчитать необходимое количество цемента и песка, но теперь уже в килограммах. Для этого нужно знать, что 10л ведро песка весит 12 килограммов, а ведро цемента 14 килограммов. Нам нужно узнать вес песка на куб раствора марки 100, для этого делаем вычисления (640/10)×12= 770 килограммов. Данное значение приведено для сухого песка, но на практике такой песок используют редко, поэтому расход песка на куб раствора может доходить до 1000 кг/м3.

Цементный раствор, строительный раствор. Марки цементного раствора, состав и приготовление

При строительстве жилых объектов с применением цементного раствора необходимо четкое соблюдение технологии изготовления применяемого раствора. И речь идет не только о марке цемента и точности пропорций составляющих цементного раствора, но и правильности замешивания, и использования готового раствора.

Строительный раствор, кладочный раствор, штукатурный раствор.

Отличаются они составом. Например, при изготовлении штукатурного раствора, должен применяться песок меньшего модуля крупности-чистый речной песок, без крупных включений в песок в виде камушков, ракушек и других включений. Кладочный раствор должен быть без зёрен щебня и крупных включений, песок можно применять-карьерный.

В состав любого цементного раствора входит цемент, вода и песок. В отличие от бетонной смеси, в этот компонент не входят щебень или гравий.

В зависимости от назначения раствора и условий его применения, раствор классифицируют на:

-штукатурный раствор марки М10, М25, М50;

-кладочный раствор, марки М50, М75, М100, М125, М150, М200;

-растворная смесь для стяжки М150, М200;

Таблица 1. Пропорции цемента и песка для производства цементного раствора различных марок:

Однако в производственных условиях цемент удобно считать в килограммах (так как цемент продают в мешках по 25, 50 кг) , а песок в кубометрах (в 1 кубометре 100 ведер).

Таблица 2. Расход цемента в килограммах на 1 кубометр песка для производства цементного раствора различных марок:

Цементно-известковые растворы

Такие растворы применяют при кладке и оштукатуривании фасадов зданий и внутренних помещений. Введение извести резко повышает пластичность растворов. Содержание известкового компонента зависит от назначения слоя.

Растворы на основе воздушной извести и гипса применяют для оштукатуривания поверхностей внутри помещений с относительной влажностью воздуха до 60 %. Основной недостаток известковых растворов — медленное твердение. Для ускорения их твердения добавляют строительный гипс.

Таблица 3. Состав и марки цементно-известковых и цементно-глиняных растворов:

               Примечание: цифры 1:0,2:3,5 обозначают, что берут 1 часть цемента, 0,2 части известкового или глиняного теста и 3,5 части песка.

Таблица 4. Составы раствора для надземной кладки зданий с влажностью помещений до 60% и для кладки фундаментов в маловлажных грунтах:

Таблица 5. Составы растворов для надземной кладки с влажностью помещений более 60% и кладки фундаментов, расположенных ниже уровня грунтовых вод:

Материалы и растворы для фундаментов и цоколей

Таблица 6.Растворы для кладки фундаментов и цоколей, находящихся ниже гидроизоляционного слоя:

                     Примечание:

Составы растворов даны в объемных единицах.

Таблица 7. Материалы для подземной части дома и цоколя, находящихся ниже гидроизоляционного слоя:

Кладочный раствор можно готовить в бетономешалке либо вручную.

Цементный раствор готовят следующим образом: в металлическую или деревянную емкость для замеса сначала засыпают необходимое количество ведер песка ровным слоем и сверху насыпают необходимое количество цемента, затем смесь перелопачивают до однородной по цвету массы, затем поливают из лейки отмеренным количеством воды и продолжают перелопачивать до получения однородного состава.

Приготовленный раствор расходуют в течение 1,5 часов, чтобы он не потерял прочность. Песок для приготовления раствора необходимо предварительно просеять через сито с ячейками 10×10 мм (для каменной кладки).

Раствор из известкового теста готовят сразу, перемешивая его с песком и водой до однородного состава.

Цементно-известковый раствор готовят из цемента, известкового теста и песка.

Известковое тесто разводят водой до густоты молока и процеживают на сите с ячейками 10×10 мм. Из цемента и песка готовят сухую смесь, затворяют известковым молоком до требуемой густоты (консистенции теста).

Цементно- глиняный раствор готовят аналогично цементно-известковому.

Неопределенность «разведения 1: 3»

Нет ничего плохого, если все четко указано как
сток: вода = 1: 1 или запас: конечный объем = 1: 2.
Однако люди склонны предполагать первое во многих фотографических контекстах.
не делая это явным.

Я предпочитаю обозначение 1+ (n-1) для концентрации 1 / n. Однако в этом
контекст один обычно ограничивает n положительным целым числом, хотя разбавление
имеет смысл для любой пропорции (действительного числа) от 0 до 1,
включительно.

Немного неудобно, когда большинство формул публикуются в метрике
.
единицы некоторые резервуары и упакованные химикаты принимают имперскую систему.
Такие разработчики, как HC-110 и Ilfotec HC, обычно указывают разведение в
.
1n-1) или 1+ (n-1), где n — степень 2. В то же время
некоторые резервуары с пленкой имеют метрическую шкалу.
Например, для смешивания 1 + 63 для бака на 1 литр требуется 15,625 (или 15 +
5/8) мл концентрата.

В моем личном деле, частично из-за вместимости моего резервуара
и процессор слотов печати указаны в метрических единицах объема,
Я перехожу к обозначениям типа концентрации
0,015 и соответственно откалибруйте время и температуру. (1 + 63 разведение
будет 0,015625, хотя при сохранении пяти значимых
цифры не практичны и не полезны) В некоторых случаях
Мне нужно приготовить 473 мл рабочего раствора — я могу просто умножить 0.015
и 473 для получения примерно 7,1 мл концентрата и 473 мл WTM (да
номер выходит беспорядочно в этом случае).

Многие формулы по-прежнему начинаются с некоторой доли воды и после
растворяя все в другой воде, чтобы получить окончательное указанное
объем. В любом случае, когда точность важна, химики указывают на
молярность или другие соответствующие единицы, а в большинстве фотографических
приложения обычно умеренные требования к точности не
необходимы такие единицы.

Решайте неравенства с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»

В этой главе мы разработаем определенные методы, которые помогут решить проблемы, сформулированные на словах. Эти методы включают переписывание задач в виде символов. Например, заявленная проблема

«Найдите число, которое при добавлении к 3 дает 7»

можно записать как:

3+? = 7, 3 + n = 7, 3 + x = 1

и так далее, где символы?, N и x представляют число, которое мы хотим найти.Мы называем такие сокращенные версии поставленных задач уравнениями или символическими предложениями. Такие уравнения, как x + 3 = 7, являются уравнениями первой степени, поскольку переменная имеет показатель степени 1. Члены слева от знака равенства составляют левую часть уравнения; те, что справа, составляют правую часть. Таким образом, в уравнении x + 3 = 7 левый член равен x + 3, а правый член равен 7.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

Уравнения могут быть истинными или ложными, так же как словесные предложения могут быть истинными или ложными.Уравнение:

3 + х = 7

будет ложным, если вместо переменной подставлено любое число, кроме 4. Значение переменной, для которой верно уравнение (4 в этом примере), называется решением уравнения. Мы можем определить, является ли данное число решением данного уравнения, подставив число вместо переменной и определив истинность или ложность результата.

Пример 1 Определите, является ли значение 3 решением уравнения

4x — 2 = 3x + 1

Решение Мы подставляем значение 3 вместо x в уравнение и смотрим, равен ли левый член правому.

4 (3) — 2 = 3 (3) + 1

12 — 2 = 9 + 1

10 = 10

Отв. 3 — это решение.

Уравнения первой степени, которые мы рассматриваем в этой главе, имеют не более одного решения. Решения многих таких уравнений можно определить путем осмотра.

Пример 2 Найдите решение каждого уравнения путем осмотра.

а. х + 5 = 12
б. 4 · х = -20

Решения а. 7 — решение, так как 7 + 5 = 12.
b. -5 — это решение, поскольку 4 (-5) = -20.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СВОЙСТВ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ

В разделе 3.1 мы решили несколько простых уравнений первой степени путем проверки. Однако решения большинства уравнений не сразу видны при осмотре. Следовательно, нам нужны некоторые математические «инструменты» для решения уравнений.

ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Эквивалентные уравнения — это уравнения, которые имеют идентичные решения. Таким образом,

3x + 3 = x + 13, 3x = x + 10, 2x = 10 и x = 5

являются эквивалентными уравнениями, потому что 5 — единственное решение каждого из них.Обратите внимание, что в уравнении 3x + 3 = x + 13 решение 5 не очевидно при осмотре, но в уравнении x = 5 решение 5 очевидно при осмотре. Решая любое уравнение, мы преобразуем данное уравнение, решение которого может быть неочевидным, в эквивалентное уравнение, решение которого легко заметить.

Следующее свойство, иногда называемое свойством сложения-вычитания , является одним из способов создания эквивалентных уравнений.

Если к обоим элементам прибавляется или вычитается одинаковое количество
уравнения, полученное уравнение эквивалентно исходному
уравнение.

в символах,

a — b, a + c = b + c и a — c = b — c

— эквивалентные уравнения.

Пример 1 Напишите уравнение, эквивалентное

х + 3 = 7

путем вычитания 3 из каждого члена.

Решение Если вычесть 3 из каждого члена, получится

х + 3 — 3 = 7 — 3

или

х = 4

Обратите внимание, что x + 3 = 7 и x = 4 — эквивалентные уравнения, поскольку решение одинаково для обоих, а именно 4.В следующем примере показано, как мы можем генерировать эквивалентные уравнения, сначала упростив один или оба члена уравнения.

Пример 2 Напишите уравнение, эквивалентное

4x- 2-3x = 4 + 6

, объединив одинаковые термины, а затем добавив по 2 к каждому члену.

Объединение одинаковых терминов дает

х — 2 = 10

Добавление 2 к каждому члену дает

х-2 + 2 = 10 + 2

х = 12

Чтобы решить уравнение, мы используем свойство сложения-вычитания, чтобы преобразовать данное уравнение в эквивалентное уравнение вида x = a, из которого мы можем найти решение путем проверки.

Пример 3 Решить 2x + 1 = x — 2.

Мы хотим получить эквивалентное уравнение, в котором все члены, содержащие x, находятся в одном члене, а все члены, не содержащие x, — в другом. Если мы сначала прибавим -1 к каждому члену (или вычтем 1 из него), мы получим

2x + 1-1 = x — 2-1

2х = х — 3

Если мы теперь прибавим -x к каждому члену (или вычтем x из него), мы получим

2х-х = х — 3 — х

х = -3

, где решение -3 очевидно.

Решением исходного уравнения является число -3; однако ответ часто отображается в виде уравнения x = -3.

Поскольку каждое уравнение, полученное в процессе, эквивалентно исходному уравнению, -3 также является решением 2x + 1 = x — 2. В приведенном выше примере мы можем проверить решение, подставив — 3 вместо x в исходном уравнении.

2 (-3) + 1 = (-3) — 2

-5 = -5

Симметричное свойство равенства также помогает при решении уравнений. В этом объекте указано

Если a = b, то b = a

Это позволяет нам менять местами члены уравнения в любое время, не беспокоясь о каких-либо изменениях знака.Таким образом,

Если 4 = x + 2, то x + 2 = 4

Если x + 3 = 2x — 5, то 2x — 5 = x + 3

Если d = rt, то rt = d

Может быть несколько разных способов применить свойство сложения, указанное выше. Иногда один метод лучше другого, а в некоторых случаях также полезно симметричное свойство равенства.

Пример 4 Решите 2x = 3x — 9. (1)

Решение Если мы сначала добавим -3x к каждому члену, мы получим

2x — 3x = 3x — 9 — 3x

-x = -9

, где переменная имеет отрицательный коэффициент.Хотя при осмотре мы можем видеть, что решение равно 9, поскольку — (9) = -9, мы можем избежать отрицательного коэффициента, добавив -2x и +9 к каждому члену уравнения (1). В этом случае получаем

2x-2x + 9 = 3x- 9-2x + 9

9 = х

, из которого решение 9 очевидно. При желании последнее уравнение можно записать как x = 9 по симметричному свойству равенства.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С СВОЙСТВОМ DIVISION

Рассмотрим уравнение

3x = 12

Решение этого уравнения — 4.Также обратите внимание, что если мы разделим каждый член уравнения на 3, мы получим уравнения

, решение которого также равно 4. В общем, мы имеем следующее свойство, которое иногда называют свойством деления.

Если оба члена уравнения делятся на одно и то же (ненулевое)
количество, полученное уравнение эквивалентно исходному уравнению.

в символах,

— эквивалентные уравнения.

Пример 1 Напишите уравнение, эквивалентное

-4x = 12

, разделив каждый член на -4.

Решение Разделив оба элемента на -4, получим

При решении уравнений мы используем указанное выше свойство для создания эквивалентных уравнений, в которых переменная имеет коэффициент 1.

Пример 2 Решите 3y + 2y = 20.

Сначала мы объединяем одинаковые термины, чтобы получить

5лет = 20

Тогда, разделив каждый член на 5, получим

В следующем примере мы используем свойство сложения-вычитания и свойство деления для решения уравнения.

Пример 3 Решить 4x + 7 = x — 2.

Решение

Сначала мы добавляем -x и -7 к каждому члену, чтобы получить

4x + 7 — x — 7 = x — 2 — x — 1

Далее, объединяя одинаковые термины, получаем

3х = -9

Наконец, мы разделим каждый член на 3, чтобы получить

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С СВОЙСТВОМ УМНОЖЕНИЯ

Рассмотрим уравнение

Решение этого уравнения — 12. Также обратите внимание, что если мы умножим каждый член уравнения на 4, мы получим уравнения

, решение которого также равно 12.В общем, мы имеем следующее свойство, которое иногда называют свойством умножения.

Если оба члена уравнения умножаются на одну и ту же ненулевую величину, полученное уравнение эквивалентно исходному уравнению.

в символах,

a = b и a · c = b · c (c ≠ 0)

— эквивалентные уравнения.

Пример 1 Напишите уравнение, эквивалентное

.

путем умножения каждого члена на 6.

Решение Умножение каждого члена на 6 дает

При решении уравнений мы используем указанное выше свойство для создания эквивалентных уравнений, не содержащих дробей.

Пример 2 Решить

Решение Сначала умножьте каждый член на 5, чтобы получить

Теперь разделите каждый член на 3,

Пример 3 Решить.

Решение Во-первых, упростите над дробной чертой, чтобы получить

Затем умножьте каждый член на 3, чтобы получить

Наконец, разделив каждого члена на 5, получим

ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

Теперь мы знаем все методы, необходимые для решения большинства уравнений первой степени.Не существует определенного порядка, в котором следует применять свойства. Может оказаться подходящим любой один или несколько из следующих шагов, перечисленных на странице 102.

Шаги по решению уравнений первой степени:

1. Объедините одинаковые члены в каждом члене уравнения.
2. Используя свойство сложения или вычитания, запишите уравнение со всеми членами, содержащими неизвестное в одном члене, и всеми членами, не содержащими неизвестное в другом.
3. Объедините одинаковые термины в каждом элементе.
4. Используйте свойство умножения для удаления дробей.
5. Используйте свойство деления, чтобы получить коэффициент 1 для переменной.

Пример 1 Решите 5x — 7 = 2x — 4x + 14.

Решение Во-первых, мы объединяем одинаковые термины, 2x — 4x, чтобы получить

5x — 7 = -2x + 14

Затем мы добавляем + 2x и +7 к каждому члену и объединяем одинаковые термины, чтобы получить

5x — 7 + 2x + 7 = -2x + 14 + 2x + 1

7x = 21

Наконец, мы разделим каждый член на 7, чтобы получить

В следующем примере мы упрощаем над дробной чертой перед применением свойств, которые мы изучали.

Пример 2 Решить

Решение Сначала мы объединяем одинаковые термины, 4x — 2x, чтобы получить

Затем мы добавляем -3 к каждому члену и упрощаем

Затем мы умножаем каждый член на 3, чтобы получить

Наконец, мы разделим каждый член на 2, чтобы получить

РЕШЕНИЕ ФОРМУЛ

Уравнения, в которых используются переменные для измерения двух или более физических величин, называются формулами. Мы можем найти любую из переменных в формуле, если известны значения других переменных.Мы подставляем известные значения в формулу и решаем неизвестную переменную методами, которые мы использовали в предыдущих разделах.

Пример 1 В формуле d = rt найти t, если d = 24 и r = 3.

Решение Мы можем найти t, заменив 24 на d и 3 на r. То есть

d = rt

(24) = (3) т

8 = т

Часто бывает необходимо решить формулы или уравнения, в которых есть более одной переменной для одной из переменных в терминах других.Мы используем те же методы, что и в предыдущих разделах.

Пример 2 В формуле d = rt найдите t через r и d.

Решение Мы можем решить для t в терминах r и d, разделив оба члена на r, чтобы получить

из которых по закону симметрии

В приведенном выше примере мы решили для t, применив свойство деления для создания эквивалентного уравнения. Иногда необходимо применить более одного такого свойства.

Пример 3 В уравнении ax + b = c найдите x через a, b и c.

Решение Мы можем решить для x, сначала добавив -b к каждому члену, чтобы получить

, затем разделив каждый член на a, мы получим

Концентрация раствора | Безграничная химия

Разведения растворов

Разбавление раствора включает добавление дополнительного растворителя для уменьшения концентрации раствора.

Цели обучения

Рассчитайте концентрацию разбавленного раствора.

Основные выводы

Ключевые моменты

• Чаще всего концентрация раствора выражается в массовых процентах, мольных долях, молярности, моляльности и нормальности. При расчете коэффициентов разбавления важно, чтобы единицы объема и концентрации оставались согласованными.
• Расчеты разбавления могут быть выполнены по формуле M ₁ V ₁ = M ₂ V ₂ .
• Серийное разведение — это серия пошаговых разведений, где коэффициент разведения поддерживается постоянным на каждом этапе.

Ключевые термины

• разбавление : раствор, в который был добавлен дополнительный растворитель, например вода, чтобы сделать его менее концентрированным
• серийное разведение : ступенчатое разведение вещества в растворе

Разбавление — это процесс добавления в раствор дополнительного растворителя для уменьшения его концентрации. Этот процесс поддерживает постоянное количество растворенного вещества, но увеличивает общее количество раствора, тем самым уменьшая его конечную концентрацию.Разбавление также может быть достигнуто путем смешивания раствора более высокой концентрации с идентичным раствором меньшей концентрации. Разбавление растворов — необходимый процесс в лаборатории, так как исходные растворы часто покупаются и хранятся в очень концентрированных формах. Чтобы растворы можно было использовать в лаборатории (например, для титрования), они должны быть точно разбавлены до известной, меньшей концентрации.

Объем растворителя, необходимый для приготовления нового разбавленного раствора желаемой концентрации, можно рассчитать математически.Отношения следующие:

[латекс] \ text {M} _1 \ text {V} _1 = \ text {M} _2 \ text {V} _2 [/ латекс]

M ₁ обозначает концентрацию исходного раствора, а V1 обозначает объем исходного раствора; M ₂ представляет собой концентрацию разбавленного раствора, а V2 представляет собой конечный объем разбавленного раствора. При расчете коэффициентов разбавления важно, чтобы единицы объема и концентрации были одинаковыми для обеих сторон уравнения.

Пример

• 175 мл 1,6 М водного раствора LiCl разбавляют водой до конечного объема 1,0 л. Какова конечная концентрация разбавленного раствора?
• [латекс] \ text {M} _1 \ text {V} _1 = \ text {M} _2 \ text {V} _2 [/ latex]
• (1,6 M) (175 мл) = M ₂ (1000 мл)
• M ₂ = 0,28 M

Разбавления : Иногда разведения можно наблюдать визуально.На изображении выше интенсивный красный цвет медленно исчезает по мере того, как растворы становятся более разбавленными.

Серийные разведения

Серийные разведения включают разведение исходного раствора или стандартного раствора несколько раз подряд. Обычно коэффициент разбавления остается постоянным для каждого разбавления, что приводит к экспоненциальному снижению концентрации. Например, десятикратное серийное разведение может привести к следующим концентрациям: 1 M, 0,1 M, 0,01 M, 0,001 M и так далее. Как видно из этого примера, на каждом этапе концентрация снижается в десять раз.Последовательные разведения используются для точного создания чрезвычайно разбавленных растворов, а также растворов для экспериментов, требующих кривой концентрации с экспоненциальной или логарифмической шкалой. Серийные разведения широко используются в экспериментальных науках, включая биохимию, фармакологию, микробиологию и физику.

Решение проблем разбавления в химии раствора ЯСНО И ПРОСТО — YouTube : В этом видео показано, как решить две задачи разбавления, используя стандартную формулу разбавления, M ₁ V ₁ = M ₂ V ₂ .

Использование молярности в расчетах растворов

Молярность — это единица концентрации; он равен молям растворенного вещества, деленным на общий объем раствора в литрах.

Цели обучения

Переведите между молярностью, граммами растворенного вещества в растворе и объемом раствора.

Основные выводы

Ключевые моменты

• Молярная концентрация, также называемая молярностью, — это количество молей растворенного вещества на литр раствора.Молярность — это наиболее распространенное измерение концентрации раствора.
• Поскольку молярность измеряется в моль / л, мы часто используем эту единицу для стехиометрических расчетов, чтобы определить количество химического вещества в данной смеси.
• Не путайте моль с молярностью: молярность — это мера концентрации, а моль — мера количества вещества.

Ключевые термины

• молярность : Концентрация вещества в растворе, выраженная в количестве молей растворенного вещества на литр раствора.
• раствор : гомогенная смесь жидкости, газа или твердого вещества, образованная растворением одного или нескольких веществ
• моль :

Молярность

В химии молярная концентрация или молярность определяется как количество молей растворенного вещества на общее количество литров раствора. Это важное различие; объем в определении молярности относится к объему раствора , а не к объему растворителя. Причина в том, что один литр раствора обычно содержит чуть больше или чуть меньше 1 литра растворителя из-за присутствия растворенного вещества.Единица измерения молярности в системе СИ — моль / м ³ ; однако вы почти всегда будете встречать молярность в единицах моль / л. Раствор с концентрацией 1 моль / л также обозначается как «1 молярный» (1 М). Мол / л также можно записать следующими способами (однако чаще всего используется моль / л или просто М):

1 моль / л = 1 M = 1 моль / дм ³ = 1 моль / дм ⁻³ = 1000 моль / м ³

Важно отличать родинки от молярности; молярность — это мера концентрации, в то время как моль — мера количества вещества, присутствующего в данный момент.

Молярность : Молярность — это мера концентрации в единицах моль растворенного вещества на литр раствора.

Использование молярности в расчетах с решениями

Молярность может использоваться в различных расчетах с использованием растворов. Следующая формула очень полезна, поскольку она связывает молярность раствора, общий объем раствора (в литрах) и количество молей растворенного вещества:

[латекс] \ text {MV} = \ text {mol} [/ latex]

Пример 1

Студент пипетирует образец объемом 100 мл 1.5 М раствор бромида калия. Сколько молей бромида калия содержится в образце?

[латекс] \ text {MV} = \ text {mol} [/ latex]

(1,5 M) (0,100 л) =

моль

моль = 0,15 моль KBr

Обратите внимание, что в приведенном выше примере объем должен быть преобразован в л из мл.

Вы можете заметить, что приведенная выше формула имеет некоторое сходство с нашей формулой разбавления :

[латекс] \ text {M} _1 \ text {V} _1 = \ text {M} _2 \ text {V} _2 [/ латекс]

Поскольку теперь мы знаем, что MV = моль, мы можем упростить нашу формулу разбавления до следующего:

[латекс] \ text {mol} _1 = \ text {mol} _2 [/ latex]

Это не должно нас удивлять.В конце концов, при любом разбавлении изменяется количество растворителя, в то время как количество молей растворенного вещества остается постоянным на всем протяжении.

Пример 2

Какова молярность раствора, содержащего 0,32 моль NaCl в 3,4 л раствора?

[латекс] \ text {M} = \ frac {0,32 \ text {моль NaCl}} {3,4 \ text {L раствор}} = {0,094 \ text {M NaCl}} [/ латекс]

Практические проблемы молярности — YouTube : Это видео демонстрирует практические задачи с молярностью, вычислением молей и литров для определения молярной концентрации.Он также использует коэффициенты преобразования для преобразования граммов в моль и между миллилитрами и литрами.

Практические проблемы молярности (часть 2) — YouTube : Используйте молярность для преобразования массы и объема в растворе. В этом видео показано, как использовать молярность в качестве коэффициента преобразования. Если вам известна молярность, вы можете определить количество молей или объем раствора. Кроме того, молярность — это соотношение, которое описывает количество молей растворенного вещества на литр раствора.

Стехиометрия раствора

Стехиометрия может использоваться для расчета количественных соотношений между видами в водном растворе.

Цели обучения

Рассчитывайте концентрации растворов по молярности, моляльности, мольной доле и процентам по массе и объему.

Основные выводы

Ключевые моменты

• Стехиометрия определяет относительные количества реагентов и продуктов в химических реакциях. Его можно использовать для определения количества продуктов из данных реагентов в сбалансированной химической реакции, а также процентного выхода.
• Чтобы рассчитать количество продукта, рассчитайте количество молей для каждого реагента. Моли продукта равны молям ограничивающего реагента в однозначной стехиометрии реакции. Чтобы найти массу продукта, нужно умножить количество молей на молекулярную массу продукта.
• В стехиометрических расчетах растворов заданная концентрация раствора часто используется в качестве коэффициента пересчета.

Ключевые термины

• стехиометрия : исследование и расчет количественных (измеримых) соотношений реагентов и продуктов в химических реакциях (химические уравнения)
• молярность : концентрация вещества в растворе, выраженная как количество молей растворенного вещества на литр раствора
• моляльность : концентрация вещества в растворе, выраженная как количество молей растворенного вещества на килограмм растворителя

Концентрация растворов

Напомним, что раствор состоит из двух компонентов: растворенного вещества (растворенного вещества) и растворителя (жидкости, в которой растворенное вещество растворено).Количество растворенного вещества в данном количестве раствора или растворителя известно как концентрация. Двумя наиболее распространенными способами выражения концентрации являются молярность и молярность.

Молярность

Молярная концентрация (M) раствора определяется как количество молей растворенного вещества (n) на литр раствора (т. Е. Объем, раствор V ):

[латекс] \ text {M} = \ frac {\ text {n}} {\ text {V} _ {\ text {solution}}} [/ latex]

Единицы измерения молярности — моль / л, часто сокращенно M .

Например, количество молей NaCl в 0,123 л 1,00 М раствора NaCl можно рассчитать следующим образом:

[латекс] 0,123 \ text {л раствора} \ times \ frac {1,00 \ text {моль}} {1,00 \ text {л раствора}} = 0,123 \ text {моль NaCl} [/ латекс]

Моляльность

Молярная концентрация (m) раствора определяется как количество молей растворенного вещества (n) на килограмм растворителя (т.е. масса растворителя, m _{растворителя} ):

[латекс] \ text {m} = \ frac {\ text {n}} {\ text {m} _ {\ text {растворитель}}} [/ латекс]

Единицы моляльности — моль / кг, или м .

Например, количество молей NaCl, растворенных в 0,123 кг H ₂ O (растворитель), чтобы приготовить 1,00 м раствор NaCl, можно рассчитать следующим образом:

[латекс] 0,123 \ text {кг растворителя} \ times \ frac {1,00 \ text {моль}} {1,00 \ text {кг растворителя}} = 0,123 \ text {моль NaCl} [/ латекс]

Стехиометрия реакций в растворах

Мы можем выполнять стехиометрические расчеты для реакций в водной фазе так же, как и для реакций в твердой, жидкой или газовой фазах.Почти всегда в наших расчетах мы будем использовать концентрации растворов в качестве коэффициентов преобразования .

Пример

• 123 мл 1,00 М раствора NaCl смешивают с 72,5 мл 2,71 М раствора AgNO ₃ . Какова масса AgCl (ов), образовавшихся в результате реакции осаждения?

Кристаллы хлорида серебра (AgCl) : Стехиометрия определяет относительные количества реагентов и продуктов в химических реакциях.Его можно использовать для определения количества продуктов из данных реагентов в сбалансированной химической реакции, а также процентного выхода.

Во-первых, нам нужно выписать наше сбалансированное уравнение реакции:

[латекс] \ text {AgNO} _3 (aq) + \ text {NaCl} (aq) \ rightarrow \ text {AgCl} (s) + \ text {NaNO} _3 (aq) [/ latex]

Следующим шагом, как и в любом расчете, включающем стехиометрию, является определение нашего предельного реагента. Мы можем сделать это, преобразовав оба наших реагента в моль:

[латекс] \ text {123 мл NaCl} \ times \ frac {\ text {1 L}} {\ text {1000 мл}} \ times \ frac {\ text {1.00 моль NaCl}} {\ text {1 L}} = \ text {0,123 моль NaCl} [/ латекс]

[латекс] \ text {72,5 мл AgNO} _3 \ times \ frac {\ text {1 L}} {\ text {1000 мл}} \ times \ frac {\ text {2,71 моль AgNO} _3} {\ text { 1 л}} = \ text {0,196 моль AgNO} _3 [/ латекс]

Из нашего уравнения реакции видно, что AgNO3 и NaCl реагируют в соотношении 1: 1. Поскольку в растворе присутствует меньше молей NaCl, NaCl является нашим ограничивающим реагентом. Теперь мы можем найти массу образовавшегося AgCl:

[латекс] \ text {123 мл NaCl} \ times \ frac {\ text {1 L}} {\ text {1000 мл}} \ times \ frac {\ text {1.00 моль NaCl}} {\ text {1 л}} \ times \ frac {\ text {1 моль AgCl}} {\ text {1 моль NaCl}} \ times \ frac {\ text {143 г}} {\ text {1 моль AgCl}} = \ text {17,6 г AgCl} [/ латекс]

Следовательно, в реакции образуется 17,6 г AgCl ( s ).

Подводя итог: мы пересчитали в моли каждого реагента, используя данные концентрации в качестве коэффициентов пересчета, выражая молярность как моль / л; как только мы нашли наш ограничивающий реагент, мы преобразовали его в граммы образовавшегося AgCl.

Решения

NCERT для математики класса 8 Глава 1

Страница № 14:

Вопрос 1:

Используя соответствующие свойства найти:

(я)

(ii)

Ответ:

(я)

(ii)

(По коммутативности)

Страница № 14:

Ответ:

(я)

Аддитивная инверсия =

(ii)

Аддитивная инверсия =

(iii)

Аддитивная инверсия =

(iv)

Противоположное число

(в)

Противоположное число

Страница № 14:

Вопрос 3:

Проверить
что — (- x ) = x для.

(i) (ii)

Страница № 14:

Ответ:

(я) −13

Мультипликативный обратный знак = —

(ii)

Мультипликативный обратный =

(iii)

Мультипликативный обратный знак = 5

(iv)

Мультипликативный обратный

(в)

Мультипликативный обратный

(vi) -1

Мультипликативный обратный знак = −1

Страница № 14:

Вопрос 5:

Назовите
свойство умножения используется в каждом из следующих случаев:

(я)

(ii)

(iii)

Ответ:

(я)

1 — мультипликативное тождество.

(ii) Коммутативность

(iii) Мультипликативный
обратный

Страница № 14:

Вопрос 6:

Умножить
к
обратная величина.

Ответ:

Страница № 14:

Вопрос 7:

Расскажите что
свойство позволяет вычислить.

Страница № 14:

Вопрос 8:

Является ли мультипликатив обратной величиной? Почему или почему нет?

Ответ:

Если это обратное умножение, то произведение должно быть 1.

Однако здесь продукт не 1, а

Видео решение для рациональных чисел (Стр .: 14, В.№: 8)

Решение NCERT для математики класса 8 — рациональные числа 14, вопрос 8

Страница № 14:

Вопрос 9:

Is
0,3 мультипликативная обратная величина?
Почему или почему нет?

Ответ:

0,3 ×

= 0,3 ×

Здесь
продукт 1.Следовательно, 0,3 является мультипликативным обратным значением.

Страница № 15:

Вопрос 10:

Запись:

(i)
рациональное число, не имеющее обратного.

(ii)
рациональные числа, равные своим обратным величинам.

(iii)
рациональное число, равное своему отрицательному.

Ответ:

(i) 0 — это
рациональное число, но его обратная величина не определена.

(ii) 1 и
−1 — рациональные числа, равные их
взаимные.

(iii) 0 — это
рациональное число, равное его отрицательному.

Страница № 15:

Вопрос 11:

Заполнить
заготовки.

(i) ноль
имеет __________ взаимно.

(ii)
числа __________ и __________ являются собственными обратными

(iii)
обратная величина — 5 __________.

(iv) Взаимный
из,
куда
является
__________.

(v)
произведение двух рациональных чисел всегда __________.

(vi)
обратное положительное рациональное число __________.

Ответ:

(и) №

(ii) 1,
−1

(iii)

(iv) x

(v) Рациональный
номер

(vi) Положительно
рациональное число

Страница № 20:

Вопрос 1:

Изобразите эти числа в числовой строке.

(i) (ii)

Ответ:

(i) можно представить в числовой строке следующим образом.

(ii) можно представить на числовой прямой следующим образом.

Видео решение для рациональных чисел (Страница: 20, Вопрос №: 1)

Решение NCERT для математики класса 8 — рациональные числа 20, вопрос 1

Страница № 20:

Вопрос 2:

Обозначьте на числовой строке.

Ответ:

можно представить в числовой строке следующим образом.

Видео решение для рациональных чисел (Страница: 20, Вопрос №: 2)

Решение NCERT для математики класса 8 — рациональные числа 20, вопрос 2

Страница № 20:

Вопрос 3:

Напишите пять рациональных чисел, меньших 2.

Ответ:

2 можно представить как.

Следовательно, пять рациональных чисел меньше 2 равны

.

Видео решение для рациональных чисел (Страница: 20, Вопрос №: 3)

Решение NCERT для математики класса 8 — рациональные числа 20, вопрос 3

Страница № 20:

Вопрос 4:

Найти
десять рациональных чисел между
а также.

Страница № 20:

Вопрос 5:

Найди пять
рациональные числа от

(я)

(ii)

(iii)

Страница № 20:

Вопрос 6:

Написать
пять рациональных чисел больше — 2.

Ответ:

-2
можно представить как -.

Следовательно,
пять рациональных чисел больше −2 равны

Страница № 20:

Вопрос 7:

Найдите десять рациональных чисел между и.

Просмотреть решения NCERT для всех глав класса 8

Make 37

У нас было довольно много заявок на этот челлендж.Некоторые отметили, что это невозможно, но мы искали нечто большее — объяснение того, почему это было невозможно, и способы доказательства этого. Вот некоторые, которые пытались объяснить, почему это невозможно.

Имоджен, Молли, Ханна, Шарлотта, Элоди и Джесс из средней школы Сандбаха написали:

Мы быстро получили 36 и 38. Только когда мы посмотрели на другие возможные суммы от 10 до 70, мы заметили, что ответы всегда были четными числами! Эту загадку невозможно доказать! В качестве расширения мы рассмотрели создание 37 с разными наборами неповторяющихся значений:

2 ~ 20 + 17; 3 ~ 20 + 10 + 7 и т. Д.

Задача заключалась в том, чтобы составить самый длинный список ценностей. восемь — самый длинный список: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9 или 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Мы думали, что это единственно возможные варианты.

Спасибо, что поделились своими мыслями. Я не уверен, что согласен с тем, что этот вызов невозможно доказать! Посмотрим, есть ли у других какие-нибудь мысли …

Привет, от мистера Фирна, учителя начальной школы Ист-Парк, который гораздо позже прислал следующее: —

Я регулярно пользуюсь вашим невероятным ассортиментом. проблем с моими Y5 и 6 классами.Этим утром мы пошли в «Make 37» и отлично провели время с расследованием.
Дети быстро поняли, что сложение 10 нечетных чисел может дать только четную сумму, однако они продолжили свои стратегии и пришли к следующему предложению:

3 ³ + 1â µ + 5 + 1â · + 1 + 1 + 1 = 37

Из сумок было взято 10 чисел, творчески организовано и сложено, в результате получилось 37. Я был очень впечатлен их изобретательностью!

Я тоже впечатлен.Интересно, есть ли еще такие решения?

Следующие три сообщения принадлежат Мишель Л., Мишель Д. и Кэти, которые учатся в государственной школе Гринакр в Австралии:

Задача «Сделать 37» требует, чтобы вы использовали десять из любых чисел 1, 3, 5, 7, чтобы составить всего 37. Обратите внимание, что все числа нечетные, и 37 тоже нечетное число, но вам нужно десять из нечетных чисел, чтобы получить еще одно нечетное число.

Обычно нечетное число, добавляемое к другому нечетному, равно четному.Если сложить три нечетных числа, получится нечетное число. Если сложить четыре нечетных числа, получится четное число. Если сложить пять нечетных чисел, получится нечетное число. Сумма шести нечетных чисел дает четное число и так далее. Когда вы наберете до десяти чисел, вы обнаружите, что решением является
четное число. 37 — нечетное, а не четное число, поэтому решение проблемы в том, что это невозможно. Вы можете получить 37 с девятью из этих чисел или одиннадцатью из них, потому что девять или одиннадцать нечетных чисел, сложенные вместе, равны нечетному числу.

Решение для «Сделать 37» состоит в том, что невозможно получить 37 с числами 1, 3, 5 и 7, если вы сложите их десять раз. Это просто потому, что когда вы складываете нечетные числа четное количество раз, например десять, то результатом будет четное число. 37 — нечетное число, поэтому вы не сможете получить его с этими числами, если сложите их десять раз. Однако, если вы добавите числа
девять или одиннадцать раз, тогда вы можете получить 37. Что я заметил в числах, так это то, что, кроме числа один, другие числа простые.

Составить 37 из чисел 1, 3, 5, 7 можно, если вы могли вытащить числа из мешков девять, одиннадцать или нечетное количество раз. Поскольку в вопросе содержится указание вытащить его только десять раз, это невозможно. Это потому, что десять — четное число, и если вы сложили числа четное количество раз, ответ должен быть четным. 37 это
нечетное число. Если вы сложите эти числа десять раз, вы получите все четные числа, такие как 36, 38, а если вы добавите их нечетное количество раз, вы получите нечетное, например 37, 39.

Итак, есть причины, по которым это невозможно, и способ обойти это, если вы знаете о возведении чисел в степень. Спасибо всем за ваш вклад.

404 не найдено

404 не найдено

Запрошенный URL /~crypto/projects/karlwang/index2.html не найден на этом сервере.

Наиболее частые причины этой ошибки:

• Вы неправильно ввели URL-адрес, к которому вы пытаетесь получить доступ. Тщательно проверьте орфографию, пунктуацию и чувствительность к регистру URL-адреса и повторите попытку.
• Файл или каталог, к которому вы пытаетесь получить доступ, больше не существует или был перемещен в другое место.

Если вам нужна помощь в разрешении этой проблемы, обратитесь к владельцу веб-страницы или веб-мастеру, как описано ниже.

Информацию о веб-сайтах класса можно найти в списке веб-сайтов класса по адресу
http://www.math.ucsd.edu/resources/course-websites/.

Для других веб-страниц, пожалуйста, начните с веб-сайта верхнего уровня математического факультета UCSD по адресу
http://www.math.ucsd.edu/.

Чтобы связаться с администраторами веб-сервера, отправьте электронное письмо по адресу
вебмастер @ math.ucsd.edu.

Чтобы мы могли должным образом устранить проблему, включите:

• Точный URL-адрес, который вы пытаетесь получить, указан в вашем веб-браузере:
  REQUEST_URI = http://math.ucsd.edu/~crypto/projects/karlwang/index2.html
• Предыдущая ссылающаяся веб-страница или ссылка, которая привела вас на этот URL:
  
  HTTP_REFERER = (нет)
• Полное название используемого вами веб-браузера, включая номер его версии:
  
  HTTP_USER_AGENT = Mozilla / 5.0 (X11; Linux x86_64; rv: 33.0) Gecko / 20100101 Firefox / 33.0
• Любые сообщения об ошибках или подробное описание возникшей проблемы.
• Название вашей операционной системы, включая номер ее версии.
• Текущий IP-адрес или имя хоста вашего компьютера:
  
  REMOTE_ADDR (REMOTE_HOST) = 91.193.178.101 ((нет))
• Точная дата и время, когда вы столкнулись с проблемой:
  
  DATE_LOCAL = понедельник, 20 сентября 2021, 14:28:09 PDT

Спасибо!

Решение повторяющихся отношений

Расследуй! 21

Рассмотрим рекуррентное соотношение

\ begin {уравнение *}
a_n = 5a_ {n-1} — 6a_ {n-2}.\ end {уравнение *}

1. Какую последовательность вы получите, если начальные условия \ (a_0 = 1 \ text {,} \) \ (a_1 = 2 \ text {?} \) Дайте замкнутую формулу для этой последовательности.

2. Какую последовательность вы получите, если начальные условия \ (a_0 = 1 \ text {,} \) \ (a_1 = 3 \ text {?} \) Приведите замкнутую формулу.

3. Что делать, если \ (a_0 = 2 \) и \ (a_1 = 5 \ text {?} \) Найти замкнутую формулу.

Мы видели, что часто легче найти рекурсивные определения, чем замкнутые формулы.К счастью для нас, существует несколько методов преобразования рекурсивных определений в замкнутые формулы. Это называется решением рекуррентного отношения . Напомним, что рекуррентное отношение — это рекурсивное определение без начальных условий. Например, рекуррентное соотношение для последовательности Фибоначчи: \ (F_n = F_ {n-1} + F_ {n-2} \ text {.} \) (Это вместе с начальными условиями \ (F_0 = 0 \) и \ (F_1 = 1 \) дают полное рекурсивное определение для последовательности.)

Пример 2.4.1

Найдите рекуррентное соотношение и начальные условия для \ (1, 5, 17, 53, 161, 485 \ ldots \ text {.} \)

Решение

Найти рекуррентное отношение было бы проще, если бы у нас был некоторый контекст для проблемы (например, Ханойская башня). Увы, у нас только последовательность. Помните, что отношение повторения говорит вам, как перейти от предыдущих терминов к будущим. Что здесь происходит? Мы могли бы посмотреть на различия между терминами: \ (4, 12, 36, 108, \ ldots \ text {.} \) Обратите внимание, что они увеличиваются в 3 раза.Оригинальная последовательность тоже? \ (1 \ cdot 3 = 3 \ text {,} \) \ (5 \ cdot 3 = 15 \ text {,} \) \ (17 \ cdot 3 = 51 \) и так далее. Похоже, что у нас всегда получается на 2 меньше, чем в следующем семестре. Ага!

Итак, \ (a_n = 3a_ {n-1} + 2 \) — это наше рекуррентное отношение, а начальное условие — \ (a_0 = 1 \ text {.} \)

Мы попытаемся разрешить этих рекуррентных соотношений. Под этим мы подразумеваем нечто очень похожее на решение дифференциальных уравнений: мы хотим найти функцию от \ (n \) (замкнутую формулу), которая удовлетворяет рекуррентному соотношению, а также начальному условию.п +1 \\
\ amp = a_n.
\ end {выровнять *}

Это то, что говорит наше рекуррентное отношение! У нас есть решение.

Иногда мы можем проявить смекалку и разрешить повторяющееся отношение путем проверки. Мы генерируем последовательность, используя отношение рекуррентности, и отслеживаем, что мы делаем, чтобы увидеть, как перейти к поиску только члена \ (a_n \). Вот два примера того, как вы могли бы это сделать.

Телескопирование относится к явлению, когда многие члены в большой сумме сокращаются — так что сумма «телескопы».”Например:

\ begin {уравнение *}
(2 — 1) + (3 — 2) + (4 — 3) + \ cdots + (100 — 99) + (101 — 100) = -1 + 101
\ end {уравнение *}

, потому что каждый третий член выглядит так: \ (2 + -2 = 0 \ text {,} \), а затем \ (3 + -3 = 0 \) и так далее.

Мы можем использовать это поведение для решения рекуррентных отношений. Вот пример.

Пример2.4.3

Решите рекуррентное соотношение \ (a_n = a_ {n-1} + n \) с начальным членом \ (a_0 = 4 \ text {.} \)

Решение

Чтобы почувствовать рекуррентное отношение, выпишите несколько первых членов последовательности: \ (4, 5, 7, 10, 14, 19, \ ldots \ text {.} \) Посмотрите на разницу между терминами. \ (a_1 — a_0 = 1 \) и \ (a_2 — a_1 = 2 \) и так далее. Ключевым моментом здесь является то, что разница между терминами равна \ (n \ text {.} \). Мы можем написать это явно: \ (a_n — a_ {n-1} = n \ text {.} \) Конечно, мы мог прийти к такому выводу непосредственно из рекуррентного соотношения, вычитая \ (a_ {n-1} \) из обеих частей.

Теперь используйте это уравнение снова и снова, каждый раз меняя \ (n \):

\ begin {align *}
а_1 — а_0 \ amp = 1 \\
а_2 — а_1 \ amp = 2 \\
а_3 — а_2 \ amp = 3 \\
\ vdots \ quad \ amp \ quad \ vdots \\
а_н — а_ {п-1} \ amp = п.\ end {выровнять *}

Сложите все эти уравнения вместе. В правой части мы получаем сумму \ (1 + 2 + 3 + \ cdots + n \ text {.} \) Мы уже знаем, что это можно упростить до \ (\ frac {n (n + 1)} {2} \ text {.} \) Что происходит слева? Получаем

\ begin {уравнение *}
(a_1 — a_0) + (a_2 — a_1) + (a_3 — a_2) + \ cdots (a_ {n-1} — a_ {n-2}) + (a_n — a_ {n-1}).
\ end {уравнение *}

Это сумма телескопов. Остается только \ (- a_0 \) из первого уравнения и \ (a_n \) из последнего уравнения. Собирая все это вместе, мы получаем \ (- a_0 + a_n = \ frac {n (n + 1)} {2} \) или \ (a_n = \ frac {n (n + 1)} {2} + a_0 \ text {.n f (k) \ text {,} \), поэтому нам нужно знать замкнутую формулу для этой суммы.

Однако телескопирование не поможет нам с такой рекурсией, как \ (a_n = 3a_ {n-1} + 2 \), поскольку левая часть не будет телескопировать. У вас будет \ (- 3a_ {n-1} \), но только один \ (a_ {n-1} \ text {.} \) Тем не менее, мы все еще можем быть умными, если будем использовать итерацию .

Мы уже видели пример итерации, когда мы нашли замкнутую формулу для арифметических и геометрических последовательностей. Идея в том, что мы повторяем процесс поиска следующего члена, начиная с известного начального условия, до тех пор, пока не получим \ (a_n \ text {.} \) Затем мы упрощаем. В примере с арифметической последовательностью мы упростили, умножив \ (d \) на количество раз, которое мы добавляем к \ (a \), когда мы добираемся до \ (a_n \ text {,} \), чтобы получить из \ (a_n = от a + d + d + d + \ cdots + d \) до \ (a_n = a + dn \ text {.} \)

Чтобы увидеть, как это работает, давайте рассмотрим тот же пример, который мы использовали для телескопирования, но на этот раз будем использовать итерацию.

Пример2.4.4

Используйте итерацию для решения рекуррентного отношения \ (a_n = a_ {n-1} + n \) с \ (a_0 = 4 \ text {.} \)

Решение

Снова начните с записи отношения повторения, когда \ (n = 1 \ text {.} \) На этот раз не вычитайте члены \ (a_ {n-1} \) в другую сторону:

\ begin {уравнение *}
а_1 = а_0 + 1.
\ end {уравнение *}

Теперь \ (a_2 = a_1 + 2 \ text {,} \), но мы знаем, что такое \ (a_1 \). Подстановкой получаем

\ begin {уравнение *}
а_2 = (а_0 + 1) + 2.
\ end {уравнение *}

Теперь перейдите к \ (a_3 = a_2 + 3 \ text {,} \), используя наше известное значение \ (a_2 \ text {:} \)

\ begin {уравнение *}
а_3 = ((а_0 + 1) + 2) + 3.\ end {уравнение *}

Мы замечаем закономерность. Каждый раз мы берем предыдущий член и добавляем текущий индекс. Итак

\ begin {уравнение *}
a_n = ((((a_0 + 1) +2) +3) + \ cdots + n-1) + n.
\ end {уравнение *}

Перегруппировывая термины, мы замечаем, что \ (a_n \) — это просто \ (a_0 \) плюс сумма целых чисел от \ (1 \) до \ (n \ text {.} \). Итак, поскольку \ (a_0 = 4 \ text {,} \)

\ begin {уравнение *}
a_n = 4 + \ frac {n (n + 1)} {2}.
\ end {уравнение *}

Конечно, в этом случае нам все еще нужно было знать формулу для суммы \ (1, \ ldots, n \ text {.} \) Попробуем повторить итерацию с последовательностью, для которой телескопирование не работает.

Пример2.4.5

Решите рекуррентное соотношение \ (a_n = 3a_ {n-1} + 2 \) при условии \ (a_0 = 1 \ text {.} \)

Решение

Снова, мы повторяем рекуррентное отношение до индекса \ (n \ text {.} \)

\ begin {align *}
a_1 \ amp = 3a_0 + 2 \\
a_2 \ amp = 3 (a_1) + 2 = 3 (3a_0 + 2) + 2 \\
a_3 \ amp = 3 [a_2] + 2 = 3 [3 (3a_0 + 2) + 2] + 2 \\
\ vdots \ amp \ qquad \ vdots \ qquad \ qquad \ vdots \\
a_n \ amp = 3 (a_ {n-1}) + 2 = 3 (3 (3 (3 \ cdots (3a_0 + 2) + 2) + 2) \ cdots + 2) + 2.п — 1.
\ end {уравнение *}

Итерация может быть беспорядочной, но когда отношение повторения относится только к одному предыдущему члену (и, возможно, к некоторой функции от \ (n \)), оно может работать хорошо. Однако попытка повторить рекуррентное отношение, такое как \ (a_n = 2 a_ {n-1} + 3 a_ {n-2} \), будет слишком сложной. Нам нужно будет отслеживать два набора предыдущих терминов, каждый из которых был выражен двумя предыдущими терминами, и так далее. Длина формулы будет расти экспоненциально (фактически вдвое каждый раз). К счастью, существует метод решения рекуррентных отношений, который очень хорошо работает с такими отношениями.

Подраздел Методика характерных корней

¶

Предположим, мы хотим решить рекуррентное отношение, выраженное как комбинация двух предыдущих членов, например \ (a_n = a_ {n-1} + 6a_ {n-2} \ text {.} \) Другими словами, мы хотим найти функцию от \ (n \), которая удовлетворяет \ (a_n — a_ {n-1} — 6a_ {n-2} = 0 \ text {. 2 + \ альфа х + \ бета = 0.п.
\ end {уравнение *}

Возможно, наиболее известным рекуррентным соотношением является \ (F_n = F_ {n-1} + F_ {n-2} \ text {,} \), которое вместе с начальными условиями \ (F_0 = 0 \) и \ (F_1 = 1 \) определяет последовательность Фибоначчи. Но обратите внимание, что это именно тот тип рекуррентного отношения, для которого мы можем использовать характерную корневую технику. Когда вы это сделаете, единственное, что изменится, — это то, что характеристическое уравнение не будет множителем, поэтому вам нужно использовать формулу корней квадратного уравнения, чтобы найти характеристические корни.Фактически, это дает третьему наиболее известному иррациональному числу \ (\ varphi \ text {,} \) золотое сечение .

Прежде чем отказаться от метода характеристического корня, мы должны подумать о том, что может произойти, когда вы решите характеристическое уравнение. У нас есть пример выше, в котором характеристический многочлен имеет два различных корня. Эти корни могут быть целыми или, возможно, иррациональными числами (для их нахождения требуется квадратичная формула). В этих случаях мы знаем, как выглядит решение рекуррентного отношения.п \), если было 3 различных корня). Также возможно решить рекуррентные отношения вида \ (a_n = \ alpha a_ {n-1} + \ beta a_ {n-2} + C \) для некоторой константы \ (C \ text {.} \) It также возможно (и допустимо), чтобы характеристические корни были комплексными числами.

Подраздел Упражнения

¶

1

Найдите следующие два термина в \ ((a_n) _ {n \ ge 0} \) в начале \ (3, 5, 11, 21, 43, 85 \ ldots. \ Text {.} \) Затем дайте рекурсивное определение для последовательности. Наконец, используйте технику характеристического корня, чтобы найти замкнутую формулу для последовательности.п \ text {.} \)

5

Найдите решение рекуррентного отношения \ (a_n = 3a_ {n-1} + 4a_ {n-2} \) с начальными членами \ (a_0 = 5 \) и \ (a_1 = 8 \ text {.} \)

6

Решите рекуррентное соотношение \ (a_n = 2a_ {n-1} — a_ {n-2} \ text {.} \)

1. Каково решение, если начальные члены \ (a_0 = 1 \) и \ (a_1 = 2 \ text {?} \)

2. Какими должны быть начальные условия для \ (a_9 = 30 \ text {?} \)

3. Для каких \ (x \) есть начальные члены, которые составляют \ (a_9 = x \ text {?} \)

7

Решите рекуррентное соотношение \ (a_n = 3a_ {n-1} + 10a_ {n-2} \) с начальными членами \ (a_0 = 4 \) и \ (a_1 = 1 \ text {.n \) также является решением рекуррентного соотношения для любых констант \ (c, d \ text {.} \)

9

Вспомните волшебный автомат с конфетами в продуктовом магазине по соседству. Предположим, что первый раз, когда в автомат кладут четвертак, выходит Кегля. Во второй раз — 4 кегли, в третий раз — 16 кеглей, в четвертый раз — 64 кегли и т. Д.

1. Найдите рекурсивную и закрытую формулу для того, сколько Skittles получит n -й покупатель.

2. Проверьте свое решение на предмет замкнутой формулы, решив рекуррентное соотношение с помощью метода характеристического корня.

10

У вас есть доступ к плиткам \ (1 \ times 1 \) двух разных цветов и плиткам \ (1 \ times 2 \) трех разных цветов. Мы хотим выяснить, сколько разных \ (1 \ times n \) дизайнов путей мы можем сделать из этих плиток.

1. Найдите рекурсивное определение для последовательности \ (a_n \) путей длины \ (n \ text {.} \)

2. Решите рекуррентное отношение, используя метод характеристического корня.

11

Пусть \ (a_n \) будет количеством \ (1 \ times n \) дизайнов плитки, которые вы можете сделать, используя \ (1 \ times 1 \) квадраты, доступные в 4 цветах, и \ (1 \ times 2 \) домино, доступные в 5 цветов.

1. Сначала найдите рекуррентное соотношение для описания проблемы. Объясните, почему рекуррентное соотношение является правильным (в контексте проблемы).

2. Запишите первые 6 членов последовательности \ (a_1, a_2, \ ldots \ text {.} \)

3. Решите рекуррентное соотношение.